¿Existe alguna función k diferenciable en el tiempo tal que $$f(f'(f''(f'''(......f^{(k)}(x))))=x$$ para todos $x$ pertenece a $\mathbb R$ ?
EDIT:- ¿Cuál será el caso cuando se invierta el orden de las funciones tomadas?
No existe tal $f$ .
Dejemos que $J$ sea el rango de $f' \circ f'' \circ \ldots \circ f^{(k)}$ que es un intervalo. Entonces $f$ debe ser inyectiva en $J$ y lo asigna a $\mathbb R$ . Pero no podemos tener $f(x) \to \pm \infty$ como $x$ se acerca a cualquier punto de $J$ o su cierre, porque entonces $f^{(k)}$ no se definiría allí. Así que $J$ debe ser toda la línea real. Pero si $f$ es diferenciable e inyectiva en $\mathbb R$ es creciente o decreciente, por lo que $f' \ge 0$ en todas partes o $f' \le 0$ en todas partes. Pero entonces $J$ está contenida en $[0,\infty)$ o $(-\infty, 0]$ ¡contradicción!
EDIT: De manera similar, considere el problema de orden invertido $$ f^{(k)}(\ldots(f'(f(x)))\ldots) = x$$
Dejemos que $J$ sea el rango de $f^{(k-1)} \circ \ldots \circ f$ , de nuevo un intervalo $J$ , que $f^{(k)}$ debe mapear uno a uno en $\mathbb R$ . De nuevo, esto debería implicar que $J$ es todo $\mathbb R$ . El mismo argumento implica entonces que el rango de $f^{(k-2)} \circ \ldots \circ f$ es todo $\mathbb R$ y $f^(k-1)$ es uno a uno. Pero eso requeriría $f^{(k)}$ para estar siempre $\ge 0$ o siempre $\le 0$ .
De alguna manera $f(x)$ debe tener valores en $J$ ese enfoque $+\infty$ y los valores en $J$ ese enfoque $-\infty$ . Tome una secuencia $x_n$ en $J$ tal que $f(x_n) \to +\infty$ . $x_n$ no puede tener ningún punto límite finito $L$ porque $f$ debe ser continua en $L$ , por lo que la única opción es que $|x_n| \to \infty$ . Del mismo modo, para una secuencia $y_n$ con $f(y_n) \to -\infty$ . Pero como $f$ es inyectiva en $J$ no puedes tener subsecuentes de ambos $x_n$ y $y_n$ que va a $+\infty$ o $-\infty$ La única posibilidad es $x_n \to+\infty$ y $y_n \to -\infty$ o viceversa. Pero entonces $J$ debe ser todo $\mathbb R$ .
¡Muy interesante @RobertIsrael! ¿Qué pasa si restringimos el dominio en el que $f\circ f'\circ f'' \circ \cdots f^{(k)} (x) = x$ ? Por ejemplo, tome $$f(x) = Kx^\alpha.$$ entonces $$f'(x)=K\alpha x ^{\alpha-1}$$ y $$f(f'(x)) = K^{\alpha+1} \alpha^{\alpha} x^{\alpha^2-\alpha}.$$ Si dejamos que $f(f'(x)) = x$ para todos $x$ en el dominio de la función, obtenemos $$\alpha=\phi$$ y $$K= \phi^{-\frac{\phi}{\phi+1}},$$ donde $\phi$ es la proporción áurea. ¿Estoy en lo cierto?
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Yo empezaría con el $k=1$ caso. Si suponemos que se puede tomar una segunda derivada, obtenemos $f'(f'(x))f''(x)=1$ y definiendo $g(x)=f'(x)$ obtenemos $g(g(x))g'(x)=1$ . No sé si eso ayuda.
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Lo siento, no pude conseguirlo
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Yo tomaría $k = 0$ y $f(x) = x$ ... :)