Contando las formas de formar 4 equipos diferentes.

Question

Tenemos 40 jugadores y tenemos que formar 4 equipos. Para cada equipo, es necesario indicar explícitamente 6 jugadores y 4 reservas. De cuántas maneras pueden los equipos se formaron?

Mi intento: en primer lugar podemos empezar a calcular de cuántas maneras podemos escoger 6 jugadores y 4 reservas. Desde que se hace una distinción entre los jugadores y se reserva, creo que debemos considerar en el cálculo (en el sentido de que, de lo contrario, habría sido simplemente 11 jugadores). Creo que podemos calcular este número por multiplicate $\binom{40}{6}$ formas de elegir a los jugadores y $\binom{34}{4}$ formas de elegir las reservas. Ahora, la multiplicación produce un número muy grande y me hace creer que estoy equivocado (porque entonces tengo que calcular de cuántas maneras podemos asignar una de las combinaciones para un equipo). Estoy equivocado? Es este un razonamiento correcto?

Answer 1

Usted está en el camino correcto.

El número de formas de seleccionar el Equipo 1 es igual a $\binom{40}6\cdot\binom{34}4$. Después de eso, el número de maneras de escoger el Equipo 2 es $\binom{30}6\cdot \binom{24}4$. Y así sucesivamente.

En última instancia, el número de maneras de escoger el total $4$ equipos $$ \binom{40}6\cdot\binom{34}4\cdot\binom{30}6\cdot\binom{24}4\cdot\binom{20}6\cdot\binom{14}4\cdot\binom{10}6\cdot\binom{4}4\\ = \frac{40!}{(6!)^4\cdot (4!)^4} $$ (También conocido como el coeficiente multinomial $\binom{40}{6, 4, 6, 4, 6, 4, 6, 4}$.)

Sin embargo, no nos importa de que equipo es el Equipo 1 y equipo Equipo de 4. Acabamos de atención, de los cuales cuatro equipos son escogidos. Desde los mismos cuatro equipos pueden ser recogidas en $4!$ formas, el número total de equipo diferentes composiciones $$ \frac{40!}{(6!)^4\cdot (4!)^5} $$

Answer 2

Lo haría un poco diferente. Primero divida a 40 jugadores en grupos de 10 jugadores, que podemos hacer en $$a= {1\over 4!} \cdot {40\choose 10}\cdot {30\choose 10}\cdot {20\choose 10}\cdot {10\choose 10}$ $ way.

Ahora, en cada grupo, elija 4 jugadores de reserva, para que podamos hacer eso en $b={10\choose 4}^4$ maneras.

Por lo tanto, el resultado es $$ a\cdot b = {40!\over 4!^5\cdot 6!^4}$ $

Answer 3

El número de formas de elegir el que los jugadores son reservas es $$\binom{40}{16} $$

El resto de los $24$ de los jugadores son titulares.

---

El número de formas de elegir el $6$ empezar en el primer equipo, se $$\binom{24}{6} $$

Dado esto, el número de maneras de elegir el $6$ empezar en el segundo equipo del resto de las $18$ opciones es $$\binom{18}{6}$$

Del mismo modo, el tercer equipo de la entrantes: $$\binom{12}{6} $$

El resto de los $6$ debe comenzar por el último equipo.

El número total de maneras de organizar los entrantes dentro de los equipos es

$$ \binom{24}{6} \binom{18}{6} \binom{12}{6}$$

---

El mismo razonamiento se aplica a las reservas, y el número total de maneras de organizar la reserva dentro de los equipos es

$$ \binom{16}{4} \binom{12}{4} \binom{8}{4}$$

---

Finalmente, los equipos que no están dadas las características distintivas (tales como nombres) de antemano, de modo que el orden en el que un conjunto de cuatro listas que se obtiene es irrelevante. Hemos contado cada cesión de los jugadores de $4!=24$ veces en lugar de sólo una vez.

Para compensar esto, basta con dividir por $24$.

---

El resultado final es

$$ \displaystyle\frac{ \displaystyle\binom{40}{16} \displaystyle\binom{24}{6} \displaystyle\binom{18}{6} \displaystyle\binom{12}{6} \displaystyle\binom{16}{4} \displaystyle\binom{12}{4} \displaystyle\binom{8}{4}}{24} $$

Answer 4

Hay: $$\frac{40!}{4!^46!^4}$$ways to split up the $40$ players in $4$ groups of $4$ and $4$ groups of $6$ in such a way that every player is member of exactly one group, and ordering of the groups of $4$ as well as ordering of the groups of $6$ los recuentos.

Luego están: $$\frac1{4!}\frac1{4!}\frac{40!}{4!^46!^4}=\frac{40!}{4!^66!^4}$$ways to split up the $40$ players in $4$ groups of $4$ and $4$ groups of $6$ in such a way that every player is member of exactly one group, and ordering of the groups of $4$ as well as ordering of the groups of $6$ ¿ no contar.

Esto determina $4$ selecciones y $4$ reserva-equipos de.

Hay $4!$ formas de conectar cada selección con un equipo de reserva.

Que da un total de: $$4!\times\frac{40!}{4!^66!^4}=\frac{40!}{4!^56!^4}$$posibilidades.