Demuestre que el$\text{Tr}(A)^2 = \text{Tr}(A^2)+\text{Sum of Eigenvalues} $

Question

Deje $A$ ser un cuadrado $ m \times m $ con autovalores $\lambda_{i},...,\lambda_{m}$. Demostrar que: $$ [\text{Tr}(A)]^{2} =\text{Tr}(A^{2}) + \sum_{i \neq j} \lambda_{i}\lambda_{j} $$

Aquí va mi intento:

LHS $$ [\text{Tr}(A)]^{2} = \sum_{i =1}^{m} \lambda_{i}\sum_{j =1}^{m}\lambda_{j} = \sum_{i =1}^{m}\sum_{j =1}^{m} \lambda_{i}\lambda_{j} $$

RHS

Se puede demostrar que $\lambda_{i}^{2}$ es un autovalor de a$A^{2}$ así:

$$ \text{Tr}(A^{2}) + \sum_{i \neq j} \lambda_{i}\lambda_{j} = \sum_{i =1}^{m} \lambda_{i}^{2} + \sum_{i \neq j} \lambda_{i}\lambda_{j} $$ $$ = \sum_{i =1}^{m}\sum_{j =1}^{m} \lambda_{i}\lambda_{j} $$

¿Esto tiene sentido?

Answer 1

Esto es perfectamente correcto. $$\\$ $ Como un signo más, puede mostrar "se puede mostrar que", en una prueba de una línea: si $\lambda$ es un valor propio de $A$ con vector propio $v$ , $$ A^2 v = A(Av) = A(\lambda v) = \lambda (Av)= \lambda^2 v $ $

Answer 2

Si $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ son distintos, esto es totalmente bien. Si no, usted sólo tiene que asegurarse de que usted está contando con ellos el número correcto de veces, es decir, que $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ son las raíces del polinomio característico con la multiplicidad. Y, a continuación, usted debe entender que estas multiplicidades de trabajo derecho al cuadrado de una matriz. Por ejemplo, supongamos $A$ es $3\times3$ y tiene los autovalores $1$ e $-1$ con multiplicidad $2$, es decir, "autovalores" $1$, $-1$, e $-1$. Como usted dice, podemos concluir que $1$ es un autovalor de a$A^2$, pero tenemos que ser capaces de concluir que $1$ es un autovalor con multiplicidad $3$. A priori, $A^2$ podría tener autovalores $1$, $\pi$, e $e$.

También, si estos valores no se encuentran en el campo subyacente, usted sólo tiene que asegurarse de que usted está todavía bien llamando autovalores incluso si no tiene vectores propios. Por ejemplo, si estamos trabajando con el real matrices (matrices de más de $\mathbb{R}$), tenemos que asegurarnos de que estamos bien con matrices como $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ que no tiene vectores propios de más de $\mathbb{R}$. Esta es otra razón para que en lugar de hablar de las raíces del polinomio característico.