¿Por qué no podemos añadir "nada más es un conjunto" como un axioma?

Question

Los axiomas de ZF definen lo que es un conjunto:

1. $\omega$ es un conjunto
2. Si $x$ y $y$ son conjuntos, entonces $\{x, y\}$ es un conjunto
3. Si $x$ es un conjunto, entonces $\bigcup x$ es un conjunto
4. Si $x$ es un conjunto, entonces $\mathcal {P}(x)$ es un conjunto
5. Si $x, y_1, ..., y_n$ son conjuntos y $P$ es una declaración de variables libres $x, y, z_1, ..., z_n$ Entonces $\{z \in x : P\}$ es un conjunto

y también define la igualdad entre conjuntos por el axioma de la extensionalidad.

Pero no entiendo por qué no podemos añadir "nada más es un conjunto" como axioma de la lista, como solemos hacer al definir un determinado objeto matemático.

¿Añadir ese axioma no resolvería el problema de que algunas declaraciones sean independientes? Si no podemos probar que un conjunto existe, entonces significa que no puede ser producido usando las reglas listadas arriba, así que no es un conjunto.

Answer 1

No está claro por qué tenemos que hacerlo. Una de las razones por las que "no podemos" tiene que ver con un tecnicismo. ZF es una teoría en "lógica de primer orden". Decir que nada es un conjunto excepto lo que los axiomas implican que es un conjunto no es una afirmación de "primer orden", así que si tratamos de agregarlo ya no tendríamos una teoría de primer orden. Eso sería una lástima, porque la lógica de primer orden funciona mucho mejor que la lógica de alto orden.

No hay forma de decir "nada es un conjunto excepto las cosas que los axiomas implican que son conjuntos" usando sólo $\forall$ , $\exists$ y $\in$ .

(De hecho, los axiomas no dicen lo que tú dices que dicen! No se menciona "es un conjunto" en los axiomas reales. Lo que dices es tal vez cómo uno piensa en lo que significan los axiomas, pero de hecho, por ejemplo el axioma real (2) es $$\forall x \forall y \exists z( \forall t(t \in z \iff (t= x \lor t= y))).$$ Los axiomas hablan de conjuntos, no de lo que es o no es un conjunto; añadir "es un conjunto" al formalismo hace que sea un tipo de cosa totalmente diferente).

Answer 2

Su propuesta de regla llevaría a contradicciones. Tome la hipótesis del continuo, por ejemplo. No podemos probar (en ZFC, asumiendo que el ZFC es consistente) que hay un conjunto de cardinalidad entre el de $\mathbb {N}$ y $\mathbb {R}$ así que la regla dice que no hay ninguno. Así que, dada la regla, la hipótesis del continuo es cierta.

¡Pero espera! Tampoco podemos probar que hay una bijección entre $\omega_1$ y $\mathbb {R}$ así que la regla dice que no hay uno, y la hipótesis del continuo es falsa.