¿Existe algún$b$ trascendental conocido que$b^b$ también sea trascendental?

Question

Números como $e$ e $π$ son conocidos por ser trascendental, sin embargo, $e^e$ o $π^π$ no conoce aún a ser irracional, mucho menos trascendental.

Hay infinitamente muchos trascendental números de $a$ tal que $a^a$ es racional, es decir, la solución de todos los $x^x = p$ donde $p$ es primo.

Mi pregunta es: ¿sabemos de cualquier trascendental número $b$ tal que $b^b$ es trascendental?

Answer 1

Deje $b = 2/W(2)$, donde $W$ es la función W de Lambert. Tenga en cuenta que $z = W(2)$ satisface $z e^z = 2$. Si $z$ fueron algebraicas, a continuación, $e^z$ también sería algebraicas, pero esto sería contradictorio del teorema de Lindemann. Por lo tanto, $z$ es trancendental, y así es $b$. Ahora $ W(2) + \log(W(2)) = \log(2)$, lo $\log(b) = \log(2) - \log(W(2)) = W(2)$, y $$b^b = \exp(b \log(b)) = \exp(2)$$ que es trascendental.