Hay 4 funciones principales en la mecánica. $L(q,\dot{q},t)$ , $H(p,q,t)$ , $K(\dot{p},\dot{q},t)$ , $G(p,\dot{p},t)$ . Los dos primeros son lagrangianos y hamiltonianos. Los dos segundos son un tipo de analógico a los dos primeros, pero no los usamos. Cada lugar donde escriben que usarlos puede causar problemas. ¿Pero por qué?
Respuestas
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Aquí es un argumento:
A partir de la 2ª ley de Newton, el Lagrangiano $L(q,v,t)$ está a sólo un paso de distancia.
Una transformación de Legendre $v\leftrightarrow p$ a la de Hamilton $H(q,p,t)$ está bien definido para una amplia clase de sistemas debido a que normalmente hay un bijective relación entre la velocidad de $v$ e ímpetu $p$.
Por otro lado, hay raramente una bijective relación entre la posición $q$ y la fuerza de $f$ (a pesar de Hooke la ley es una excepción notable). Por lo tanto, la Legendre transforma $K(f,v,t)$ e $G(f,p,t)$ son a menudo mal definidos.
Simmo
Puntos
39
Para describir el movimiento de los cuerpos, es suficiente con saber dos variables - las coordenadas y velocitys, o las coordenadas y momentos, entonces las condiciones iniciales se determinan. En el caso de configuración de otras variables, es necesario el uso de condiciones de contorno, que es más complicado. Es necesario establecer las iniciales de las coordenadas y velocidades para satisfacer a los valores iniciales de las otras variables. Sólo la inicial de coordenadas y la velocidad de determinar el movimiento de los cuerpos. El valor de las otras variables es una función de las coordenadas y la velocidad, y la función inversa no siempre existen. Cuando la función inversa no existe o no es único, el movimiento es indefinido. Para obtener el valor inicial de las variables de $\dot p,\dot q$, es necesario calcular la solución con las iniciales de las variables de coordenadas, velocidad, volver atrás y obtener el valor inicial de las variables de $\dot p,\dot q$. Además, al describir el movimiento en las variables de $\dot p,\dot q$, usted no va a lograr una descripción completa; en lugar de derivados $\dot p,\dot q$, el conocimiento de las variables de $p,q$ es necesario. Para encontrar las coordenadas y los impulsos por sus derivados, es necesario conocer sus valores iniciales. Se cierra el círculo.
