Prueba de que $\int_0^\infty \frac{(f'(x))^2}{f(x)^{1980}} dx < \infty$

Question

Supongamos que $f(x), f'(x), f''(x)$ son continuas en $(0,+\infty)$ y $f(x) \geq \alpha > 0,$ y la integral impropia $\displaystyle \int_{0}^{\infty} |f''(x)| dx$ existe. Prueba de que
$$\displaystyle \int_0^\infty \dfrac{(f'(x))^2}{f(x)^{1980}} dx < \infty$$ Mi intento es utilizar $\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)^{990}} dx = \frac{-1}{989 f(x)^{989}}$ pero me quedé atascado. ¿Cómo puedo utilizar la continuidad de $f , f', f''$

Answer 1

Respuesta actualizada (motivada/solicitada en los comentarios)

Lo siento, pero ahora la solución completa está escrita "en la nariz" de nuestro (silencioso) OP.

El argumento

Dado que el integrante $(f')^2/f^{1980}$ es no negativo, sólo tenemos que encontrar una constante $C$ (no depende de $A$ o $B$ ) tal que $$\int_A^B\frac{(f')^2}{f^{1980}}\,dx\leq C$$ para todos $0<A<1$ y $B>1$ ya que entonces podemos concluir que los límites de $\int_A^B (f')^2/f^{1980}\,dx$ como $A\to 0^+$ y $B\to+\infty$ existe, y por lo tanto que $\int_0^{+\infty}(f')^2/f^{1980}\,dx$ es finito.

Para tener algo con la segunda derivada, integramos por partes, $$\int_A^{B}\frac{f'}{f^{1980}}f'\,dx=\Bigl[-\frac{1}{1979f^{1979}}f'\Bigl]_A^{B}+\int_A^{B}\frac{1}{1979f^{1979}}f''\,dx.$$

Nos ocupamos de los dos términos por separado.

El término de fuera integrado

Utilizamos el teorema fundamental del cálculo y la desigualdad del triángulo para obtener $$|f'(B)|=\Bigl|f'(1)+\int_1^B f''(t)\,dt\Bigr|\leq |f'(1)|+\int_0^{\infty}|f''(t)|\,dt,$$ y, asimismo, $$|f'(A)|=\Bigl|f'(1)-\int_A^1 f''(t)\,dt\Bigr|\leq |f'(1)|+\int_0^{\infty}|f''(t)|\,dt,$$ Por lo tanto, tanto $|f'(B)|$ y $|f'(A)|$ están acotados, independientemente de $A$ y $B$ . Desde $f(x)\geq \alpha>0$ se deduce que el valor absoluto del término de salida está acotado, digamos por una constante $C_1$ independientemente de $A$ y $B$ .

La integral Utilizando el límite $f\geq \alpha>0$ junto con $\int_0^{+\infty}|f''|\,dx<+\infty$ y la desigualdad del triángulo, encontramos que $$\begin{aligned} \Bigl|\int_A^B\frac{1}{1979f^{1979}}f''\,dx\Bigr| &\leq\frac{1}{1979\alpha^{1979}}\int_A^B|f''(x)|\,dx\\ &\leq\frac{1}{1979\alpha^{1979}}\int_0^{+\infty}|f''(x)|\,dx\\ &\leq C_2, \end{aligned}$$ donde $C_2$ es independiente de $A$ y $B$ .

Conclusión

Concluimos que podemos tomar $C=C_1+C_2$ .

Answer 2

Desde $f > \alpha > 0$ para todos $x$ entonces $1/f^p < 1/\alpha^p$ para todos $x$ y $p$ . Así que $$\int_0^a (f')^2f^{-p}dx < \alpha^{-p}\int_0^a (f')^2dx,$$

para todos $a > 0$ . Evidentemente, la afirmación se demuestra si la convergencia de $\int |f''|dx$ es suficiente para concluir que $\int (f')^2dx$ converge.

Answer 3

Voy a publicar una respuesta parcial:

Tenemos $$\int_0^\infty \dfrac{(f'(x))^2}{f(x)^{1980}} dx.$$ Integraremos por partes: dejemos que $$u=f'(x)\text{ and }dv=f(x)^{-1980}f'(x).$$ Tenga en cuenta que tenemos $$du=f''(x)\text{ and }v=-\frac{1}{1979}f(x)^{-1979}.$$ Así, tenemos $$\int_0^\infty \dfrac{(f'(x))^2}{f(x)^{1980}} dx=\int_0^\infty udv=\lim_{x\to\infty}u(x)v(x)-u(0)v(0)-\int_0^\infty vdu.$$

Podemos comprobar que $$\left|\int_0^\infty vdu\right|\le\int_0^\infty \left|-\frac{f''(x)}{1979}f(x)^{-1979}\right|dx\le\frac{1}{1979\alpha^{1979}}\int_0^\infty|f''(x)|dx\le\infty.$$

Así, hemos demostrado $$\int_0^\infty \dfrac{(f'(x))^2}{f(x)^{1980}} dx=\frac{f'(0)}{1979f(0)^{1979}}-\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{1979f(x)^{1979}}+\int_0^\infty\frac{f''(x)}{1979f(x)^{1979}}dx.$$

Lo único que queda por demostrar es que $\lim_{x\to\infty} u(x)v(x)$ existe. Podemos demostrar $v(x)$ está acotado, ya que $$\liminf_{x\to\infty}v(x)=\liminf_{x\to\infty}-\frac{1}{1979}f(x)^{-1979}\ge\frac{-\alpha^{-1979}}{1979},$$ y $$\limsup_{x\to\infty}v(x)=0.$$ Sin embargo, sin $\lim_{x\to\infty}u(x)=0$ pero esto sigue sin demostrar que $\lim_{x\to\infty}u(x)v(x)$ existe. Tal vez se necesiten supuestos adicionales, o un truco inteligente.

EDIT: Según la observación de @mickep, como el integrando es no negativo, sólo necesitamos acotar la integral para demostrar que converge. Sin embargo, ya hemos demostrado que está acotada, hasta mostrar $u(x)$ está acotado.

Answer 4

Desde $f'(x) = f'(1)+\int_1^x f'',$ vemos que $f'$ está acotado en $(0,\infty).$ De ello se desprende que

$$\int_0^1 \frac{(f')^2}{f^{1980}}<\infty.$$

En $[1,\infty)$ podemos integrar por partes: Para $b>1,$ tenemos

$$\int_1^b \frac{(f')^2}{f^{1980}} = \int_1^b f'f^{-1980}\cdot f' = \frac{f^{-1979}}{-1979}\cdot f'\ |_1^b + \int_1^b \frac{f^{-1979}}{1979}\cdot f''.$$

Todo lo que necesitamos saber es que la última expresión es una función acotada de $b\in [1,\infty).$ Pero esto se desprende de $f\ge \alpha,$ los límites de $f',$ y la integrabilidad de $f''.$