Axioma de reemplazo (Cuestión de notación)

Question

Para cada fórmula$\phi$ sin$Y$ libre, el cierre universal de los siguientes es un axioma:

$\forall x\in A \exists !y \phi(x,y) \Longrightarrow \exists Y \forall x\in A \exists y\in Y \phi(x,y)$

Mi pregunta es sobre el$!$, ¿eso significa que$y$ está vinculado en$\phi$? ¿Qué significa el signo de exclamación? ¿Hay para que$y\ne \{x: x\not\in x \}$? Estoy confundido.

Answer 1

Rustyn,$\exists !$ es el cuantificador "hay un único". Esto es solo una abreviatura, ya que se puede definir en términos de los cuantificadores estándar:$\exists! x\psi(x)$ es solo$\exists x(\psi(x)\land\forall y(\psi(y)\to y=x))$.

De todos modos, esta versión de reemplazo (donde el gráfico de$\phi$ es una "función") es equivalente a la versión más generosa donde el$\exists!$ se reemplaza por el habitual$\exists$ (donde el gráfico de$\phi$ es solo una "relación").