¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas (CSIR)?

Question

Pregunta :

Deje $f$ ser verdaderos valores de la función en $R^3$ satisfactorio (para una fija $\alpha \in \mathbb R$) $f(rx) = r^{\alpha}f(x)$ para cualquier $r>0$$x \in \mathbb R^3$. A continuación, cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas.

1. Si $f(x) = f(y)$ siempre $||x|| = ||y|| = \beta$$\beta >0$, $f(x) = \beta ||x||^{\alpha}$

2. Si $f(x) = f(y)$ siempre $||x|| = ||y|| = 1$$\beta >0$, $f(x) = ||x||^{\alpha}$

3. Si $f(x) = f(y)$ siempre $||x|| = ||y|| = \beta$$\beta >0$, $f(x) = c||x||^{\alpha}$ para una cierta constante c.

4. Si $f(x) = f(y)$ siempre $||x|| = ||y|| $, $f$ debe ser función constante.

Por favor ayúdame a ver esta pregunta con más claridad, y me ayude a contestar a esto.

Answer 1

Observe que para $x\neq0$ tenemos $f(x)=f(\frac{\lvert\lvert x\rvert\rvert}{\beta}\frac{\beta x}{\lvert\lvert x\rvert\rvert})=f(\frac{\beta x}{\lvert\lvert x\rvert\rvert})\beta^{-\alpha}\lvert\lvert x\rvert\rvert^{\alpha}=C\lvert\lvert x\rvert\rvert^{\alpha}$ donde $C$ es una constante independiente de la elección de $x$ desde el término en el interior es en el $\beta$ bola de unos a $0$ y por supuesto de $f(x)=f(y)$ al $\lvert\lvert x\rvert\rvert=\lvert\lvert y\rvert\rvert=\beta$. Por lo tanto, 3 es verdadero (aviso que si $f(0)=a$ $a=f(0)=f(r\times0)=r^{\alpha}a$ por lo tanto $a=0$ o $r=1$ pero esta ecuación es verdadera arbitrarias $r$. Por lo tanto, $f(0)=0$ y está de acuerdo con $C\lvert\lvert x\rvert\rvert^{\alpha}$ todos los $x$.).

No necesariamente podemos garantizar 1 sin más información. Para un contraejemplo a 1 considere el $f(x)=-\lvert\lvert x\rvert\rvert^{\alpha}$.

Un contraejemplo a 4 es $f(x)=\lvert\lvert x\rvert\rvert^{\alpha}$. Por tanto, no podemos garantizar la 4. No estoy seguro de cómo responder a 2, ya que no estoy del todo seguro de cómo $\beta$ está involucrado.