Álgebra lineal reducción de determinante

Question

Demuestra, sin expandir, que \begin{vmatrix} 1 &a &a^2-bc \\ 1 &b &b^2-ca \\ 1 &c &c^2-ab \end{vmatrix} se anula.

¿Alguna pista?

Answer 1

Sea

$$f(a)=\begin{vmatrix} 1 &a &a^2-bc \\ 1 &b &b^2-ca \\ 1 &c &c^2-ab \end{vmatrix}$$ entonces es fácil ver que $f$ es un polinomio en $a$ con grado a lo sumo $2$ y $f(b)=f(c)=0$ por lo que $$f(a)=\lambda(a-b)(a-c)$$ ahora, sin pérdida de generalidad, asumamos que $bc\ne0$, tomamos $a=0$; vemos fácilmente que $f(0)=0$ entonces $\lambda=0$.

Answer 2

\begin{align} \begin{vmatrix} 1 & a & a^2-bc \\ 1 & b & b^2-ca \\ 1 & c & c^2-ab \end{vmatrix} &=\begin{vmatrix} 1 & a & a^2-bc \\ 0 & b-a & b^2-a^2+bc-ca \\ 0 & c-b & c^2-b^2+ca-ab \end{vmatrix} \\ &=\begin{vmatrix} b-a & b^2-a^2+bc-ca \\ c-b & c^2-b^2+ca-ab \end{vmatrix} \\ &=\begin{vmatrix} b-a & (b-a)(b+a+c) \\ c-b & (c-b)(c+b+a) \end{vmatrix} \end{align}

Answer 3

Por ejemplo, si tu matriz es $A$, considera $(b-c,c-a,a-b) A$

Answer 4

Agrega $(ab+bc+ca)$ veces la primera columna a la última y encuentra el factor común de la última columna.

Answer 5

Simplemente agregue un múltiplo de la primera columna a la última $$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2-bc\\1&b&b^2-ac\\1&c&c^2-ab\end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1 & a & a^2-bc+(1)(ab+ac+bc)\\1&b&b^2-ac+(1)(ab+ac+bc)\\1&c&c^2-ab+(1)(ab+ac+bc)\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & a & a(a+b+c)\\1&b&b(a+b+c)\\1&c&c(a+b+c)\end{vmatrix} = 0$$ El paso final se sigue porque la segunda y tercera columna son linealmente dependientes.