Dadas las soluciones independientes$f(x)$ y$g(x)$ de una DE homogénea lineal en$(a,b)$, ¿cuáles también deben ser soluciones?

Question

Dado que el $f(x)$ $g(x)$ son soluciones independientes de un lineal homogénea diff ecuación diferencial en $(a, b)$, ¿cuál de los siguientes debe también ser las soluciones?

A) 0

B) $2f(x)-3g(x)$

C) $f(x)g(x)$

D) ambos (A) y (B)

E) ambos (B) y (C)

Mi respuesta sería la D, ya que cualquier combinación lineal de soluciones independientes debe ser también una solución de la ecuación dada, pero la respuesta de los estados clave que sólo Una, es decir, la solución cero, es la correcta. Estoy con vistas a una sutileza en la redacción de la pregunta, o es D de hecho, la respuesta correcta? Yo a saber, que no puede ver por qué B no también ser una solución.

Esta pregunta es directamente de un libro de preparación para el GRE, por el camino, y la tecla de respuesta es de UCLA en el sitio web del curso de preparación para el GRE.

Answer 1

Considere este ejemplo:

$x_1 + 3x_2 = 0$

$2x_1 + 6x_2 = 0$

Tiene la solución trivial $(0, 0)$, pero también a los no-trivial solución de $(-3, 1).$

Hay infinitamente muchas otras combinaciones lineales que son soluciones: por ejemplo,$(-3n, 1n)$$n > 0$.

Podría ser que las combinaciones lineales de un conjunto homogéneo DifEQ no se consideran independientes, así, por $B$ no es una respuesta?

(Referencia: 2º ejemplo en la página 2 http://www.math.hawaii.edu/~lee/lineal/sys-eq.pdf)