Obviamente si $m<n$, no hay ninguna función de $\Bbb A$ a $\Bbb B$, por lo que asumir que $m\ge n$. Vamos a utilizar una inclusión-exclusión en el argumento. Hay $n^m$ funciones de todos los tipos de$\Bbb A$$\Bbb B$. Si $b\in\Bbb B$, $(n-1)^m$ funciones de$\Bbb A$$\Bbb B\setminus\{b\}$, es decir, las funciones de cuyos márgenes no incluyen las $b$. Necesitamos restar estos de la original $n^m$, y tenemos que hacerlo para cada una de las $n$ de los miembros de $\Bbb B$, por lo que la mejor aproximación es $n^m-n(n-1)^m$.
Por desgracia, una función cuya área de distribución se echa de menos dos miembros de $\Bbb B$ obtiene resta dos veces en que la computación, y que deben ser restadas una sola vez. Por lo tanto, tenemos que agregar de nuevo en las funciones cuyos rangos de baja al menos dos puntos de $\Bbb B$. Si $b_0,b_1\in\Bbb B$, $(n-2)^m$ funciones de$\Bbb A$$\Bbb B\setminus\{b_0,b_1\}$, y $\binom{n}{2}$ pares de puntos de $\Bbb B$, por lo que tenemos que agregar de nuevo en $\binom{n}2(n-2)^m$ para obtener
$$n^m-n(n-1)^m+\binom{n}2(n-2)^m\;,$$
que puede ser expresado de manera más sistemática
$$\binom{n}0n^m-\binom{n}1(n-1)^m+\binom{n}2(n-2)^m\;.$$
Por desgracia, este corrige en la otra dirección, por la adición de nuevo en demasiado. El resultado final, cuando la totalidad de la inclusión-exclusión en el cómputo se hace, es
$$\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}k(n-k)^m\;,$$
que también se puede escribir $$n!{m\brace n}\;,$$ where ${m\llave n}$ is a Stirling number of the second kind. The Stirling number gives the number of ways of dividing up $\Bbb$ into $n$ non-empty pieces, and the $m!$ then gives the number of ways of assigning those pieces to the $n$ elements of $\Bbb B$.
