Suma de divisores

Question

¡Bonjour!
Estoy tratando este problema de teoría de números, pero no tengo idea de cómo resolverlo.
¿Puede darme algunas pistas?

Tenemos cualquier $\mathbb{Z_+}$ número. Que sea $n$ .
Entonces debemos probar que $2 \nmid \sigma(n) \implies n = k^2 \vee n = 2k^2$ .
Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

Dejemos que $n=2^e m$ donde $m$ es impar. Tenga en cuenta que $\sigma(2^e)$ es impar. Así que por la multiplicidad de $\sigma$ , $\sigma(n)$ es impar si $\sigma(m)$ es impar. Cualquier poder de $2$ es un cuadrado o dos veces un cuadrado. Así que sólo tenemos que demostrar que si $\sigma(m)$ es impar para el número impar $m$ entonces $m$ es un cuadrado perfecto.

Si $m$ es pas un cuadrado perfecto, hay un primo $p$ , necesariamente impar, de manera que la mayor potencia de $p$ que divide $m$ es $p^t$ , donde $t$ es impar.

Pero por multiplicidad, $1+p+\cdots+p^t$ divide $\sigma(m)$ . Y $1+p+\cdots+p^t$ es par, ya que es la suma de un número par de números Impares. Esto contradice el hecho de que $\sigma(m)$ es impar.

Observación: Lo contrario es sencillo: Si $n$ tiene forma $w^2$ o $2w^2$ entonces $\sigma(n)$ es impar.

Answer 2

Una pista: Si la factorización primaria de $n$ es $$ n=\prod_k p_k^{e_k}\tag{1} $$ entonces $$ \begin{align} \sigma(n) &=\prod_k\frac{p_k^{e_k+1}-1}{p_k-1}\\ &=\prod_k\left(1+p_k+p_k^2+\dots+p_k^{e_k}\right)\tag{2} \end{align} $$ y contar el número de sumandos en $(2)$ .

Answer 3

Si $n$ es impar, entonces $\sigma(n)$ es la suma de $\tau(n)$ Divisores Impares. Para que esta suma sea impar, $\tau(n)$ debe ser impar. Pero eso significa que no es posible emparejar los divisores como pares $(d, \frac n d)$ es decir, hay un divisor $d$ con $d=\frac nd$ y por lo tanto $n=d^2$ .

Si $n=2^rm$ con $m$ impar y $r>0$ entonces $\sigma(n)=\sigma(2^r)\sigma(m)$ Por lo tanto $\sigma(m)$ es impar y por el párrafo anterior $m=d^2$ para algunos $d|m$ . Si $r=2s$ es par, entonces $n=(2^sd)^2$ y si $r=2s+1$ es impar entonces $n=2\cdot(2^rd)^2$ .