Prueba de suma de secuencias divergentes y convergentes.

Question

Supongamos que $(s_n)$ es una secuencia convergente y $(t_n)$ diverge hacia $\infty$ . Demostrar que lim $s_n+t_n = \infty$ .

Prueba (¿alguien puede verificarlo?): Elige $N_1$ tal que $\forall n > N_1$ , $|s_n-s|<1$ . Entonces, $\forall n > N_1$ , $s_n > s-1$ .

Ahora, dejemos que $M > 0$ . Elige $N_2$ tal que $\forall n > N_2$ , $t_n > M -s+1$ .

Sea $N = $ max $\{N_1, N_2\}$ . Entonces $\forall n > N$ ,

$t_n+s-1>M$ . Así que.., $t_n+s_n > M$

Por lo tanto, lim $s_n + t_n = \infty$

Answer 1

Su prueba es correcta.

Como señala Hagen von Eitzen en los comentarios, el núcleo de la prueba es el hecho de que $s_n$ está eventualmente acotada por debajo. Y "eventualmente limitado por debajo" y "limitado por debajo" son lo mismo.

Answer 2

Se equivoca. La definición de una serie divergente es $\forall T>0$ , $\forall N\in\mathbb{N}$ , $\exists n>N$ s.t. $a_n>T$

Se trata de una definición "frecuente", a diferencia de la definición "eventual" de una serie convergente. Sin embargo, tu idea es muy parecida