Una caracterización del aniquilador de un subespacio

Question

Deje que $V$ ser un espacio vectorial y dejar $W \subset V$ ser un subespacio. Dejemos que $W^0=\{f \in V^*: f[W]=\{0\}\}$ . Es fácil ver que $$W= \bigcap_ {f \in W^{0}} \ker f.$$

Ahora supongamos $Y$ es un subespacio de $V^ \ast $ de tal manera que lo siguiente se mantiene: $$W= \bigcap_ {f \in Y} \ker f.$$

¿Es cierto que $Y=W^0$ ? Es fácil mostrar que $Y \subset W^0$ . Si no, ¿la hipótesis adicional de $ \dim V< \infty $ hace que funcione?

Answer 1

El resultado es falso si $\dim Y = \infty$ (lo que implicaría necesariamente que $\dim V = \infty$ también). He aquí un ejemplo:

Dejemos que $V = L^1(\mathbb{R})$ y $W = \{0\}$ . Entonces, claramente $W^{0} = V^*$ . Ahora dejemos que $Y = C_C^{\infty}(\mathbb{R})$ sea el conjunto de $C^{\infty}$ funciones con soporte compacto. Se trata de un subespacio de $V^*$ donde una función $f\in C_C^{\infty}(\mathbb{R})$ se asocia a la función $g\mapsto\int\limits_{\mathbb{R}}{fg}$ . Tenemos el siguiente hecho:

Si $g\in L^1(\mathbb{R})$ y $\int\limits_{\mathbb{R}}{fg} = 0$ para todos $f\in C_C^{\infty}(\mathbb{R})$ entonces $g = 0$ .

Este hecho implica que $\bigcap\limits_{f\in Y}{\ker f} = \{0\} = W$ . Pero $Y\ne V^*$ ya que $V^*$ es $L^{\infty}(\mathbb{R})$ bajo la misma identificación realizada anteriormente si interpretamos $V^*$ como el conjunto de funciones lineales continuas sobre $V$ y $V^*$ es un espacio aún mayor si incluimos también los funcionales no continuos.

Answer 2

Puedo darte una prueba en dimensión finita. Tome $\{f_1,\cdots, f_n\}$ una base (en realidad basta con un conjunto de extensión) para $Y$ . Entonces $$\bigcap_{i=1}^n\ker f_i = \bigcap_{f \in Y}\ker f = W.$$ El $\subseteq$ se deduce porque el $f_i$ span $Y$ y $\supseteq$ es trivial. Veamos que si $f$ aniquila $W$ entonces $f$ está atravesado por el $f_i$ . Consideremos el mapa lineal $T\colon V \to \Bbb K^n$ dado por $$T(x) = (f_1(x),\cdots,f_n(x)).$$ Entonces $\ker T = W$ . Entonces $f \in W^0 = (\ker T)^0$ pero sabemos que $$(\ker T)^0 = {\rm Im}(T^\top),$$ ¿verdad? Significa $f = T^\top(g)$ para algunos $g \in (\Bbb K^n)^\ast$ . Ahora escribe $g = \sum_{i=1}^n\lambda_i \pi_i$ para algunas constantes $\lambda_i \in \Bbb K$ y las proyecciones $\pi_i$ . Finalmente: $$f(v) = T^\top(g)(v) = g(f_1(v),\cdots,f_n(v)) = \sum_{i=1}^n\lambda_i \pi_i(f_1(v),\cdots,f_n(v)) = \sum_{i=1}^n\lambda_if_i(v).$$

Creo que el resultado es falso en dimensión infinita pero no conozco un contraejemplo ahora mismo. Esencialmente he resuelto el ejercicio $6$ aquí que estoy seguro de que le resultará interesante leer.

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Me acabo de dar cuenta de que sólo $Y$ necesitan tener una dimensión finita, no $V$ .