Demostrar: si cada uno de$m_1,\dotsc,m_n$ puede escribirse como sumas de dos cuadrados, también lo puede hacer su producto$m_1 \dotsm m_n$

Question

El Problema

Demostrar: Si cada uno de $m_1,\dotsc,m_n$ puede ser escrito como suma de dos plazas, por lo que puede su producto $m_1 \dotsm m_n.$ (Sugerencia: Use inducción.)

(Yo creo que el $m_1\dots m_n$ representan compuesto de números en este caso...)

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Algunos Antecedentes

Este problema es en realidad la tercera parte de un problema de múltiples pasos. El paso anterior nos había de hacer lo siguiente:

Demostrar: Si $m_1$ $m_2$ puede ser escrito como suma de dos cuadrados, por lo que puede su producto $m_1 m_2$.

A la que me ofreció la siguiente prueba:

Prueba.

Supongamos $m_1$ $m_2$ puede ser escrito como suma de dos cuadrados, donde$m_1=a^2+b^2$$m_2=c^2+d^2$. A continuación, el producto $m_1m_2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$. Habiendo demostrado que $(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2$,$m_1m_2=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$. Dejando $j=ac-bd$$k=ad+bc$,$m_1m_2=j^2+k^2$, que es la suma de dos cuadrados. $\square$

(La parte donde solía $(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2$ probado en el primer paso de este problema).

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Mis Preguntas

Creo que esta pregunta no debería ser mucho más difícil que el paso anterior, pero estoy fallando para ver cómo aplicar la inducción de aquí, y por lo tanto han estado luchando para ver cómo debería iniciar siquiera el problema. Más específicamente,

1. ¿El paso anterior se consideran como la base de caso para este paso, con $n=2$? Si no, ¿qué debe mi caso base?
2. ¿Qué hay de mi paso inductivo parecer aquí?

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Como siempre, su ayuda es muy apreciada!

Answer 1

1. Digamos que en el paso anterior actúa como una prueba para el caso base (con $n=2$) y como base para el paso inductivo.

2. Usted asume que "si cada uno de los $m_1, \ldots, m_n$ puede ser escrito como suma de dos cuadrados, a continuación, por lo que puede a su producto". Quiere mostrar que este supuesto implica "si cada una de las $m_1,\ldots,m_{n}, m_{n+1}$ puede ser escrito como suma de dos cuadrados, entonces su producto.".

Esto no es tan difícil como parece. Usted sabe que $m_1m_2\cdots m_n$puede ser escrita como una suma de cuadrados mediante su hipótesis de inducción. Usted también sabe que $m_{n+1}$ puede ser escrito como suma de dos cuadrados.

Así que puede $$\underbrace{m_1 m_2 \cdots m_n}_{\text{sum of 2 squares}} \cdot \underbrace{m_{n+1}}_{\text{sum of 2 squares}}$$ be written as a sum of two squares? (think back to the previous part now, consider $m_1\cdots m_n$ and $m_{n+1}$ como dos números).

Answer 2

Estás en lo correcto. "El paso anterior" cubre la inducción caso, ya que estamos tratando con dos números de $m_1,m_2$ más de allí.

Para la inducción, considere la posibilidad de $k+1$ números de $m_1, ...,m_{k+1}$ que puede ser escrito como la suma de dos cuadrados.

En el paso inductivo, se puede asumir que el producto de la $m_1, m_2, \ldots,m_k$ puede ser escrito como suma de dos cuadrados (desde aquí se puede asumir que para todos los enteros $< k+1$, la premisa es verdadera).

Ahora, todo lo que necesitas hacer es aplicar el paso dos (o en el caso inductivo $k=2$), con los dos números de $m_1 ... m_k$ (el producto) y el último número $m_{k+1}$. Que le dice que su producto, que es $m_1 ... m_{k+1}$, se puede escribir como suma de dos cuadrados, que iba a ser probado.

Así que usted tenía razón, nada más que un paso $2$ es necesario para la prueba de la tercera parte.