Thomas Jech, como muchos otros matemáticos, demuestra $AC \rightarrow ZL$ a través de la inducción transfinita. Él dice:
Prueba . Construimos (usando una función de elección para conjuntos no vacíos de P), una cadena en P que lleva a un elemento maximal de P. Dejamos, por inducción, $a_\alpha =$ un elemento de P tal que $a_\alpha > a_\beta$ por cada $\beta < \alpha$ si es que hay uno. Claramente, si $\alpha > 0$ es un ordinal límite, entonces $C_\alpha = \{a_\beta : \beta < \alpha \}$ es una cadena en P y $a_\alpha$ existe por la suposición. Finalmente, hay $\theta$ de tal manera que no hay $a_{\theta + 1} \in P$ , $a_{\theta + 1} > a_\theta$ . Así, $a_{\theta}$ es un elemento maximal de P.
Tengo una pregunta sobre esta demostración: ¿Bajo qué argumento justifica Jech la existencia de $\theta$ ?
En otra pregunta Asaf Karagila sostiene que este proceso de elegir y añadir elementos a la cadena debe detenerse porque, de lo contrario, tendríamos una inyección desde la clase propia de Ordinales a P. ¿Por qué no puede ser así?, ¿por qué no podemos tener una inyección desde una clase propia a un conjunto?
Siento si estas preguntas parecen ingenuas, todavía soy bastante inmaduro en mis conocimientos matemáticos.
