Podemos estar seguros, que $$\prod\limits_{p}^{\infty}\frac{p}{p-1}\prod\limits_{p[4k+1]}^{\infty}\frac{p-1}{p+1}=\pi$$ y $$\prod\limits_{p}^{\infty}\frac{p}{p-1}\prod\limits_{p[6k+1]}^{\infty}\frac{p-1}{p+1}=\frac{2\pi}{\sqrt{3}}$$ así $$\frac{2}{\sqrt{3}}=\prod\limits_{p[4k+1]}^{\infty}\frac{p+1}{p-1}\prod\limits_{p[6k+1]}^{\infty}\frac{p-1}{p+1}=\left(\frac{5+1}{5-1}\right)\left(\frac{7-1}{7+1}\right)\left(\frac{17+1}{17-1}\right)\left(\frac{19-1}{19+1}\right)\cdots$$ Para todos los $p[12k+1]$ que la producción es igual a $1$, por lo que $$\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{9}{8}\cdot\frac{9}{10}\cdot\frac{15}{14}\cdot\frac{15}{16}\cdots$$ Podría parecer, que este resultado es igual a $$\prod\limits_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(6n-3)^2}{(6n-2)(6n-4)}\right]=\frac{2}{\sqrt{3}}$$ pero lo que realmente es. Estas dos series son similares, pero diferentes. Hay algunos términos en el segundo infinito de producción, que están ausentes en el primero: $$\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{9}{8}\cdot\frac{9}{10}\cdot\frac{15}{14}\cdot\frac{15}{16}\cdot \frac{21}{20}\cdot\frac{21}{22}\cdot\frac{27}{26}\cdot\color{red}{\frac{27}{28}}\cdot\color{red}{\frac{33}{32}}\cdot\frac{33}{34}\cdot\color{red}{\frac{39}{38}}\cdot\frac{39}{40}\cdot\frac{45}{44}\cdot\color{red}{\frac{45}{46}}\cdot\frac{51}{50}\cdot\frac{51}{52}\cdots$$ Parte de ellos menor de $1$, otros más grandes. También no hay términos en primera producción, que están ausentes en el segundo. Así que si extraemos este (de color rojo), sus infinito de producción igual a $1$. Otra de las palabras, podemos decir, que $$\prod\limits_{s[12k+5]}^{\infty}\frac{s+1}{s-1}\prod\limits_{s[12k+7]}^{\infty}\frac{s-1}{s+1}=1$$ o $$\prod\limits_{s[12k+5]}^{\infty}\frac{s+1}{s-1}=\prod\limits_{s[12k+7]}^{\infty}\frac{s+1}{s-1}$$ Aquí $s[x]$ - número compuesto de la forma $x$. Pero, ¿por qué?
¿Por qué son iguales a uno de los resultados?
Si he cometido algunos errores, lo siento por mi inglés.
