Convergencia puntual y uniforme. Ejemplos de la física

Question

Soy un estudiante de matemáticas de primer año, y desde una perspectiva matemática entiendo la diferencia entre convergencia puntual y uniforme de secuencias y series de funciones. Sin embargo, me he preguntado qué fenómenos de la física (u otras ciencias que utilizan las matemáticas) se describen mediante secuencias o series que convergen puntualmente, pero no uniformemente. ¿Puedes dar algún ejemplo de este tipo? Gracias.

Answer 1

Claro, ¡hay muchos! En mi opinión, una razón conceptual básica para ello es que la mayoría de las veces, los modelos utilizados para describir una clase determinada de fenómenos físicos tienen en sus límites fenómenos "incontrolables" (de lo contrario, podríamos ampliar el modelo directamente e incluirlos). Así que a menudo ocurre que, cuando se intentan tomar algunos límites, los fenómenos en estas fronteras empiezan a controlar la física y no se puede tener una convergencia uniforme, aunque se controle la convergencia puntual en el grueso. El objetivo de la física es entender cómo mezclar entonces estas nuevas características y el viejo modelo en un nuevo marco más amplio.

Generalmente se puede observar una convergencia puntual pero no uniforme cuando el El fenómeno de Gibbs en la óptica, la acústica, etc. En este caso, no estoy seguro de que la física tiene mucho que decir en realidad, esto es sólo una propiedad de las transformadas de Fourier.

Un ejemplo muy particular en la física de altas energías es el conocido límite puntual de la teoría cuántica de cuerdas, donde se recupera la dinámica de las partículas cuánticas.

La amplitud de probabilidad mecánica cuántica ("amplitud de dispersión") para que una cuerda cuántica se disperse de un estado a otro tiende a la misma amplitud para que una partícula evolucione de la misma manera cuando la longitud de la cuerda llega a cero. La amplitud de la cuerda se escribe como una integral sobre un cierto espacio dimensional finito (el espacio de moduli de las superficies de Riemann con un número determinado de agujeros y puntos marcados), y la contribución esencial en este límite se localiza en la frontera de este espacio. Puntualmente se tiene una convergencia a cero en el interior del espacio de módulos, pero la propia integral tiene un límite no nulo, dado por una contribución en la frontera. (para ser precisos, esta afirmación sólo es cierta cuando el objeto en cuestión -la amplitud de dispersión de esta partícula- es "finito", véase el problema de divergencias ultravioletas y renormalización).

Obviamente este ejemplo es muy específico, y la lista es muy muy larga.

Answer 2

Las ciencias utilizan las matemáticas sólo como una herramienta. En casi todas estas aplicaciones, los problemas matemáticos (como la convergencia puntual frente a la uniforme) no son inherentes al problema científico en cuestión, sino que surgen del modelo matemático y son indicativos de sus limitaciones.

Por ejemplo, al modelar una gran colección de partículas (ya sea en un sólido (cristal) o en un fluido), se puede describir su distribución mediante Dirac $\delta$ -funciones. Matemáticamente, esto tiene ciertos problemas (no son estrictamente funciones en el sentido matemático y no son diferenciables), que ocurren precisamente porque las partículas reales no son puntuales. Pero el modelo de partículas puntuales puede seguir siendo muy útil en muchas aplicaciones.