Tiempo y trabajo. Aritmética.

Question

$A$ , $B$ y $C$ trabajando juntos completaron un trabajo en $10$ días. Sin embargo, $C$ sólo funcionó durante los tres primeros días cuando $\dfrac{37}{100}$ del trabajo estaba hecho. Además, el trabajo realizado por $A$ en $5$ días equivale al trabajo realizado por $B$ en $4$ días. ¿Cuántos días tardará el trabajador más rápido en completar el trabajo dado solo?

¿Es correcto mi enfoque?

Mi intento:

Que la tasa de trabajo realizada por $A,B,C$ sea $a \,\text{units/day}, b \,\text{units/day}, c \,\text{units/day}$ respectivamente.

Desde entonces, $C$ sólo funciona en el primer $3$ días (junto con $A$ y $B$ ), y $B$ y $A$ trabajan juntos el resto del tiempo,

$$\text{Total work}=(a+b+c)\cdot3+(a+b)\cdot7=10(a+b)+3c$$

También, $$3c=\frac{37}{100}[10(a+b)+3c]$$ así que $$189c=370(a+b) \tag{1}$$

y $$5a=4b \tag{2}$$

¿Dónde está la tercera ecuación que resolvería el problema?

Answer 1

Dejemos que $A$ , $B$ y $C$ son las cantidades de trabajo que puede realizar en un día cada trabajador. Esto significa que $C$ por ejemplo, representa el valor numérico de la cantidad de trabajo del trabajador $C$ puede lograr en un día. En un día, juntos pueden hacer todo este trabajo: $A + B + C$ . En dos días, $2(A+B+C)$ . En tres días, $3(A + B + C)=\frac{37}{100}$ . También sabemos que durante el último $7$ días sólo trabajadores $A$ y $B$ estaban trabajando. Y también sabemos la cantidad de trabajo que habían hecho: $1-\frac{37}{100} = \frac{100}{100}-\frac{37}{100}=\frac{67}{100}$ . Esto se puede expresar así: $7(A + B)=\frac{63}{100}$ . Y también sabemos que la cantidad de trabajo realizado en $5$ días por trabajador $A$ es igual a la cantidad de trabajo realizado por el trabajador $B$ en $4$ días (por cierto, ya sabemos que el trabajador $B$ trabaja más rápido que el trabajador $A$ ). Esto es lo que tenemos hasta ahora:

$$ 3(C + A + B)=\frac{37}{100}\\ 7(A + B)=\frac{63}{100}\\ 5A=4B $$

Ahora vamos a resolver todo eso. La cantidad de trabajo $A$ puede hacer por día:

$$ 5A=4B\implies B=\frac{5}{4}A\\ 7(A + B)=\frac{63}{100}\implies 7\left(A + \frac{5}{4}A\right)=\frac{63}{100}\implies A=0.04\\ $$ Ahora podemos encontrar la cantidad de trabajo $B$ puede hacer por día: $$ B=\frac{5}{4}A\implies B=0.05\\ $$ La cantidad de trabajo que C puede hacer por día: $$ 3(C + A + B)=\frac{37}{100}\implies C=\frac{1}{30} $$

$0.05 > 0.04 > \frac{1}{30}≈0.03$ El trabajador más rápido es el trabajador $B$ porque puede realizar una mayor cantidad de trabajo por día que los otros dos trabajadores. El trabajo completo, una vez terminado, está representado por la cantidad $\frac{100}{100}$ lo que equivale a $1$ . Ahora, recuerda que $0.05$ significa que se necesita un trabajador $B$ un día para realizar todo este trabajo: $0.05$ . Cuántos días le llevará completar el trabajo completo ( $\frac{100}{100}=1$ ) con esa tasa? Si dejamos que $x$ sea el número de días, entonces el trabajador tardará $B$ para completar el trabajo dado solo:

$$ x \cdot 0.05 = \frac{100}{100}\\ x \cdot 0.05 = 1\\ x = \frac{1}{0.05}\\ x = 20 \text{ days} $$

Respuesta: 20 días.

Answer 2

Creo que he interpretado el problema de manera un poco diferente, pensando en $a,b$ y $c$ como la proporción del trabajo total $A$ , $B$ y $C$ completo por día, respectivamente.

En tres días, con $A, B$ y $C$ trabajando, $0.37$ del trabajo se hace: $$3(a+b+c)=\dfrac{37}{100}$$

El trabajo lleva $10$ días para completar, donde $A, B$ trabajar los diez días, pero $C$ sólo funciona $3$ : $$10(a+b) + 3c = 1$$

Finalmente, $A$ hace $5$ veces el trabajo de $B$ : $$5a=4b$$

Al resolver este sistema se obtiene $a = \dfrac{4}{100}$ , $b=\dfrac{5}{100}$ y $c = \dfrac{1}{30}$ Así que $B$ es el trabajador más rápido. Por lo tanto, se deduce que el número de días que tarda $B$ para completar el trabajo en solitario viene dado por $$\frac{5}{100}t = 1 \iff t = 20 \, \text{days}.$$