Cómo demostrar que $\sin(\sqrt{x})$ ¿no es periódica? La definición de función periódica es $f(x+P)=f(x)$ .
Así que asumo que $\sin(\sqrt{x+P})=\sin(\sqrt{x})$ . Esto equivale a $\sin(\sqrt{x+P})-\sin(\sqrt{x})=0$ . Esto implica $2cos(\frac{\sqrt{x+P}+\sqrt{x}}{2})\sin(\frac{\sqrt{x+P}-\sqrt{x}}{2})$ . ¿Qué debo hacer ahora?
Si $\sin {\sqrt x}$ es el período con el período $P$ entonces también lo es $\cos {\sqrt x}$ porque $\cos {\sqrt x} = \sqrt {1 - \sin^2 \sqrt x}=\sqrt {1 - \sin^2 \sqrt {x+P}}=\cos (\sqrt{x+P})$ . Al igual que la derivada de $\sin {\sqrt x}$ porque $ \lim \frac {\sin (\sqrt {x + h}) -\sin(\sqrt{x})}h= \lim \frac {\sin (\sqrt {x +P + h}) -\sin(\sqrt{x+P})}h$ .
Pero la derivada de $\sin (\sqrt{x})$ es $\frac{cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$ y si $\cos (\sqrt{x + P}) = \cos (\sqrt{x})$ entonces $\frac{cos(\sqrt{x+P})}{2\sqrt{x+P}}=\frac{cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x+P}} \ne \frac{cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$
Esto es una contradicción.
$$\sin(\sqrt{x+P})=\sin(\sqrt{x})$$
$$\implies \sqrt{x+P}=\sqrt{x}+2k\pi \text { or }\sqrt {x+P}=2k\pi+ \pi - \sqrt{x} $$
Al elevar al cuadrado obtenemos $$ x+P = x+4 k^2\pi ^2 +4k\pi \sqrt x $$
o $$x+P =((2k+1) \pi) ^2 + x-2(2k+1)\pi \sqrt x$$
Obsérvese que nada de lo anterior es válido para una constante $P$ y cada $x$
Dos ángulos tienen los mismos senos si la diferencia es $2k\pi$ o uno es $\pi$ menos el otro.
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Pista: Si fuera periódica, su derivada también lo sería.
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Así que tengo que demostrar que $\frac{cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$ ¿también es no periódica? ¿Cómo podría hacerlo?
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Está muy claro que esa función no es periódica. Lo que sucede como $x\to \infty$ ?
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Vale la pena señalar que su intento no tiene realmente sentido. ¿Por qué debería $\sin (\sqrt {x+P})=\sin (x)$ ? La periodicidad significaría $\sin (\sqrt {x+P})=\sin (\sqrt x)$ .
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Error tipográfico, lo siento, aún no soy experto en el uso de Latex.
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¿Podrías detallar más tu respuesta, Lulu?
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Por favor, muestre un poco de esfuerzo. Como he dicho, está muy claro que la derivada no es periódica. Tiene un límite como $x$ ¡va al infinito! Ninguna función periódica no constante puede tener un límite en el infinito.
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Bien, tenga en cuenta que si $f(x)$ es periódica en el dominio $D$ entonces si $x\in D\iff x+P\in D$ . Esto significa que si $x\in D$ entonces $x-P\in D$ pero esto no es cierto en nuestro caso. ( $x=0$ ).
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Tenga en cuenta que cuando $\sqrt x = 2\pi$ entonces $\cos {\sqrt x} =1$ . Este es el mayor valor $\cos{\sqrt x}$ puede ser. Y $\frac {\cos{\sqrt x}}{\sqrt{x}} = \frac 1{2\pi}$ . Para cualquier $x$ entonces $\frac 1{\sqrt{x}} < \frac 1{2\pi}$ y $\cos{\sqrt{x}}{\sqrt x} \le \frac 1{\sqrt{s}} < \frac 1{2\pi}$ . Así que en $x = 4\pi^2$ entonces $\cos{\sqrt{x}}{\sqrt x}$ un determinado tamaño y se nunca ser tan grande de nuevo. No puede ser periódico si nunca volverá a tener ese valor.