¿Cómo funciona el axioma de inducción descartar otros números de los naturales?

Question

El conjunto de la teoría de la formulación del axioma de inducción es el siguiente:

Supongamos $A \subseteq \mathbf{N}$, de tal manera que $0 \in A$ $k+1 \in A$ siempre $k \in A$. A continuación, $A = \mathbf{N}$

Este axioma se supone que es para descartar posibilidades, como $A = \mathbf{Q}$ o $A= [0, \infty)$, que satisfagan los demás Axiomas de Peano, pero no el axioma de inducción.

Pero no entiendo cómo es que las normas de los casos anteriores. En primer lugar, ¿cómo sabemos que el conjunto de $A$ es un subconjunto de a $\mathbf{N}$ sin definir primero lo $\mathbf{N}$ es? Algo que parece circular, lo que significa que aún tengo que entender el axioma.

Supongamos $B$ incluye $0$, $S(0), S(S(0))$, y así sucesivamente, pero también incluye las fracciones como $\frac{1}{2}$. Inducción supuestamente previene $B$ se $\mathbf{N}$. Pero esto significa que debemos saber de antemano que $B \nsubseteq \mathbf{N}$, lo que parece circular.

Nota: he buscado preguntas similares en este sitio, y aunque no es uno que casi le hace la pregunta, no he podido encontrar una respuesta satisfactoria.

Answer 1

Vamos a demostrar que $\mathbb Q$ no satisface

Supongamos $A \subseteq \mathbf{Q}$, de tal manera que $0 \in A$ $k+1 \in A$ siempre $k \in A$. A continuación, $A = \mathbf{Q}$

De hecho, $A=\mathbb Q \cap [0,\infty)$ tiene la propiedad especificada, pero no es igual a $\mathbb Q$.

Ahora vamos a demostrar que $[0,+\infty)$ no satisface

Supongamos $A \subseteq [0,+\infty)$, de tal manera que $0 \in A$ $k+1 \in A$ siempre $k \in A$. A continuación,$A = [0,+\infty)$.

Este tiempo se puede utilizar $\{0\} \cup [1,+\infty)$ como el contraejemplo.

Ahora que lo intente. Creo que de cualquier $X \supseteq \mathbb N$ otros de $\mathbb N$. Mostrar que usted puede encontrar un subconjunto $A$ contradiciendo la inducción formulado para $X$.

Answer 2

Permítanme resumir en unas de las otras respuestas y comentarios en un cuadro general.

Usted debe mantener en mente que, en los fundamentos de las matemáticas, cualquier sistema axiomático depende de ciertos supuestos básicos", es decir, conceptos indefinidos y, a continuación, las listas de ciertos axiomas que estos "supuestos" debe cumplir.

Hay varias distintas axiomático enfoques para la aritmética, y ayuda a comparar cómo los números naturales y el axioma de inducción surgir en cada uno de ellos.

En primer lugar, uno puede simplemente comenzar a partir de los Axiomas de Peano, en el que $\mathbb{N}$ $0$ e "$+1$" operación son los mismos, y el axioma de inducción es sólo eso, un axioma. Por tu pregunta esta no es particularmente satisfactorio para usted, así que vamos a ir a otros enfoques.

Segundo, uno puede comenzar a partir de los axiomas de los números reales $\mathbb{R}$, el cual puede ser encontrado en muchos de los análisis de los libros. En breve, $\mathbb{R}$ es una completa ordenó campo; uno se demuestra un teorema diciendo que $\mathbb{R}$ es único hasta el isomorfismo. Uno de los axiomas nos da la operación binaria de la suma. Otro nos da la identidad aditiva $0$. Otro nos da la operación binaria de la multiplicación. Otro nos da la identidad multiplicativa $1$. Uno puede entonces definir los números naturales $\mathbb{N}$: es la intersección de todos los subconjuntos de a $\mathbb{R}$ que contengan $0$ $1$ y cerrado bajo la suma. Una vez hecho esto, el axioma de inducción se convierte en un teorema que usted puede probar, como consecuencia de todos los demás axiomas de los números reales (intentarlo; la respuesta de @GEdgar es una sugerencia).

En tercer lugar, uno puede comenzar a partir de los axiomas de ZF para la teoría de conjuntos, y dentro de esos axiomas se pueden definir los números naturales $\mathbb{N}$ (véase la respuesta de @MauroAllegranza para más detalles). En breve, se define el $0 = \emptyset$, y uno se demuestra un teorema sobre la existencia de un único conjunto de $\mathbb{N}$ que es un subconjunto de todo conjunto infinito que contiene $0$ como un elemento y que es cerrado bajo Von Neumann el sucesor de operación $S(a) = a \cup \{a\}$. Este conjunto $\mathbb{N}$ se define a ser los números naturales. De nuevo, una vez que está hecho, el axioma de inducción se convierte en un teorema que demuestra, como una consecuencia de los axiomas de ZF.

Así que el panorama es que los números naturales $\mathbb{N}$ surgir de dos maneras diferentes, dependiendo de lo que los axiomas uno utiliza como base: $\mathbb{N}$ está integrado en los axiomas directamente (como en los axiomas de Peano); o $\mathbb{N}$ está definido y, a continuación, la inducción se ha demostrado como un teorema.

Answer 3

Si trabajamos con la versión original de los axiomas de Peano [ver, por ejemplo, Edmund Landau, Fundamentos de análisis: La aritmética de enteros racionales irracionales y números complejos (original ed.1930), tenemos:

Se asume lo siguiente:

Un conjunto de objetos llamados números naturales, que poseen las propiedades de los llamados axiomas - que se enumeran a continuación. [...]

Axioma 5 (Axioma de Inducción) : haya dado un conjunto $\mathfrak M$ de los números naturales, con las siguientes propiedades:

I) $0$ pertenece a $\mathfrak M$.

II) Si $x$ pertenece a $\mathfrak M$, también lo $S(x)$.

A continuación, $\mathfrak M$ contiene todos los números naturales.

Por lo tanto, si tenemos en cuenta un conjunto $B = \{ 0, S(0), \ldots, \frac 1 2 \}$ y significa que los "puntos" para la condición II) anterior, aplicando el Axioma 5$B$, se debe tener que:

$\mathfrak M \subseteq B$.

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En un enfoque de teoría, se define lo que es un número natural, entonces suponemos el axioma de infinitud, a continuación, definimos el conjunto $\omega$ de todos los números naturales, y, finalmente, se demuestra que:

Si

(i) $0 \in A$,

(ii) para cada $n$ si $n \in A$$S(n) \in A$,

a continuación,$\omega \subseteq A$.

Así que, de nuevo, en relación con la $B$ arriba : $\omega \subseteq B$.

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Por lo tanto, si suponemos que:

$A \subseteq \mathbb N$, de tal manera que $0 \in A$ $k+1 \in A$ siempre $k \in A$,

por Inducción tenemos que $\mathbb N \subseteq A$.

Así, a partir de:

$A \subseteq \mathbb N$ $\mathbb N \subseteq A$

se concluye con :

$A = \mathbb N$.

Answer 4

"En primer lugar, ¿cómo sabemos que el conjunto a es Un subconjunto de N sin definir primero lo que N es?"

Ese es el quid de la cuestión que los axiomas son que un conjunto $\mathbb N$ existe de que satisface los siguientes axiomas.

"antes" de los axiomas $\mathbb N$ podría ser... nada. Podría ser $\{\}$. Podría ser {todos los elefantes}. Yo podría ser $\mathbb Q$. Podría ser {a las arañas de marte} $\cup \mathbb Z$.

Axioma 1) $0 \in \mathbb N$.

Está bien que las normas de conjunto vacío y se descarta {todos los elefantes}. Pero permite que el $\mathbb Q$ y {las arañas de marte} $\cup \mathbb Z$.

Axioma 2) Si $n \in \mathbb N$$n + 1 \in \mathbb N$.

Bueno, que las normas de {las arañas de Marte} $\cup \mathbb Z$. Pero todavía tenemos $\mathbb Q$, $\mathbb Z$, $[0,\infty)$ y a los demás.

Axioma 3) $0 \ne n+1 $ cualquier $n \in \mathbb N$.

Bueno... que las normas de $\mathbb Q$$\mathbb Z$. Pero deja a $[0,\infty)$$\mathbb Q^{\ge 0}$, e incluso un extraño $\mathbb R - ${números enteros negativos}.

Axioma 4) Si $x, y \in \mathbb N$$x + 1 = y + 1 \implies x = y$.

Bueno... he de confesar que en los ejemplos anteriores he estado tomando la definición de $n + 1$ por sentado y suponiendo que no era una cuestión de discusión.

Pero esto básicamente dice que $n + 1 \ne n$, y que el conjunto {0, 0+1 = 1, 1+ 1= 2, 2+ 1= 3,....} será infinito con elementos distintos y es el conjunto más pequeño que podemos considerar. Si bien el conjunto {0, 1/2, 1, 1 1/2, 2, 2 1/2,...} está siendo un competidor. Como son los conjuntos que he mencionado anteriormente.

Axioma 5) (finalmente) Cualquier subconjunto de a $A \subset N$ que ha $0$ y tiene la propiedad de que si $n \in A$ $n+1 \in A$ $A$ debe $\mathbb N$. En otras palabras $\mathbb N$ no tiene adecuada subconjuntos ingenio de la inducción de la propiedad.

Bueno.. esto arroja un freno real a las cosas. Para todos aquellos conjuntos que he mencionado anteriormente " $[0,\infty)$$\mathbb Q^{\ge 0}$, e incluso un extraño $\mathbb R - ${números enteros negativos}" así como {0, 1/2, 1, 1 1/2, 2,...}, podemos encontrar fácilmente adecuada subconjuntos con la inducción de la propiedad.

Ej: Vamos A $\mathbb N = \mathbb Q^{\ge 0}$. Deje $A = \mathbb Q^{\ge 0}- {1/2}$. Que satisface la inducción de la propiedad. Pero $A \ne \mathbb Q^{\ge 0}$. Por lo $\mathbb N \ne \mathbb Q^{\ge 0}$.

O $\mathbb R - ${números enteros negativos}$ -\{\pi \pm k| k \in \mathbb Z\} \subset \mathbb R - ${números enteros negativos} tiene la inducción de la propiedad, sino que es un subconjunto de modo $\mathbb N \ne \mathbb R - ${números enteros negativos}$ -\{\pi \pm k| k \in \mathbb Z\}$

Básicamente tenemos $\mathbb N$ a que se reducen a los "más pequeños" posible establecer la satisfacción de los axiomas 1 - 4. Axioma 5) es una manera formal de decir "más pequeño".

A mí me parece que la pregunta natural es: ¿los axiomas exigir que cualquier posible establecer la satisfacción de los cinco axiomas deben ser únicos. La respuesta es sí, sí.

Si $\mathbb N'$ $\mathbb N"$ ambos satisfacen los axiomas 1 - 5, a continuación, vamos a $A =\mathbb N' \cap \mathbb N"$. $0 \in A$ y si $n \in A$$n + 1 \in A$. Así, por el axioma 5, $A = \mathbb N'$$A = \mathbb N"$$\mathbb N' = \mathbb N"$.

Así que los axiomas 1 - 5 de forma exclusiva definir $\mathbb N$.