Cuando se $\dim(V^*)\gt \dim(V)$ $?$

Question

Deje $V$ ser un infinito dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb Z_2$ con countably infinito base $\{e_1,e_2,e_3,.....,e_n,....\}$ y escribir $$V=S+T$$ s.t. $$S=\langle e_1 \rangle$$ and $$T=\langle e_2,e_3,...,e_n,...\rangle.$$

Entonces $$T^*=S^0$$ is easy to see but how can I prove that $$T^*\cong V^*$$ and $$\dim(V^*)\gt \dim(V)\ ?$$

Claramente $V^*$ tiene una función que toma $e_1$ $1$y el resto a $0$ que no está en $T^*$ . A pesar de que no va a dejar de isomorfismo como los conjuntos son infinitos.

Pero, ¿cómo demostrar $?$

Answer 1

Para abordar la cuestión en su título: tenga en cuenta que para cualquier secuencia $(x_n) \subset \{0,1\}^{\Bbb N}$, se puede definir un elemento de $V^*$ por $$ e_n \mapsto x_n $$ Todos esos elementos son linealmente independientes.

Como tal, $V^*$ tiene dimensión $2^{|\Bbb N|}$, que es incontable y por lo tanto mayor que $\dim(V) = |\Bbb N|$.

Punto a considerar: ¿por qué es $\sum x_n e_n$ no es generalmente un elemento de $V$?

Answer 2

Para mostrar $T^*\cong V^*$: pensar sobre el mapa de $T\rightarrow V$ generado por $e_{i+1}\mapsto e_i$ . . .

Para mostrar $\dim(V^*)>\dim(V)$, tenga en cuenta que $V$ es contable, por lo que es suficiente para demostrar que $V^*$ es incontable. Puede usted pensar en una inyección de$\mathcal{P}(\mathbb{N})$$V^*$? (SUGERENCIA: identificar las $\mathbb{N}$$\{e_1, e_2, e_3, . . .\}$ . . .)