¿Se puede integrar sobre una discontinuidad extraíble?

Question

$$\int_0^4 x+2\ \mathrm{d}x = 16$$

$$\int_0^4 \frac{x^2-4}{x-2}\,\mathrm{d}x = 16?$$

Answer 1

Introduzcamos algunas notaciones $\begin{cases} f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} \\ \tilde f(x)=x+2\ & \text{its continuous extension}\end{cases}$

$\displaystyle I_1(\varepsilon)=\int_0^{2-\varepsilon}f(x)dx=\int_0^{2-\varepsilon}\tilde f(x)dx=6-4\varepsilon+\varepsilon^2/2\to 6$

$\displaystyle I_2(\varepsilon)=\int_{2+\varepsilon}^4f(x)dx=\int_{2+\varepsilon}^4\tilde f(x)dx=10-4\varepsilon-\varepsilon^2/2\to 10$

Desde $\tilde f$ es positivo en $[0,4]$ está claro que ambos $I_1(\varepsilon)$ y $I_2(\varepsilon)$ aumentan cuando $\varepsilon$ disminuye hacia cero.

También está claro que $I_1(\varepsilon)\le 6$ y $I_2(\varepsilon)\le 10$ para $\varepsilon\ll 1$ .

Ahora bien, en realidad depende de la teoría de la integración que elijas.

A partir de los resultados anteriores, cualquier método que esté de acuerdo con el teorema de convergencia monótona (Beppo-Levi) estará automáticamente de acuerdo con $\displaystyle \int_0^4f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\ I_1(\varepsilon)+I_2(\varepsilon)=16$

Éste es el caso de la integral de Lebesgue, así como de la integral completa de Riemann (también conocida como integral de Kurzweil-Henstock).

Para la integral de Riemann, la integral sobre $[0,4]$ sigue siendo un impropio-integral y es una elección voluntaria extenderlo a $\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\ I_1(\varepsilon)+I_2(\varepsilon)$ por continuidad.

Nótese que el teorema tipo Lebesgue que dice que una función es integrable de Riemann si su conjunto de discontinuidades es de medida cero, es una extensión similar de la teoría de integración estricta de Riemann, y es también una elección voluntaria para extender el valor por continuidad de la integral.