Definiciones equivalentes de los números ordinales?

Question

La primera definición de un número ordinal que encontré fue que un número ordinal es el $\in$-imagen de un conjunto ordenado $(A,\lt)$. A partir de esta definición se deriva que un ordinal es sólo el conjunto de todos los menores ordinales en virtud de la $\in$ buen orden, y cada una de las ordinal es un conjunto transitivo.

Buscar en otras fuentes, he encontrado que el $\in$ función no es mencionada, pero en lugar de un ordinal es definido como cualquier transitiva conjunto de conjuntos transitivos. Veo cómo la primera definición implica la segunda, ya que cualquier ordinal es transitiva. Pero, ¿cómo hace la segunda definición, que parece menos restrictivas para mí, por alguna razón, implica la primera? Gracias.

Answer 1

Bueno, que me engañó. Esto se basa en estas notas por William Weiss.

Deje $A$ ser transitivo conjunto de conjuntos transitivos. Queremos demostrar que $A$ es totalmente ordenado con respecto a $\epsilon$. Voy a suponer que el Axioma de Regularidad.

Axioma de Regularidad. Para cada $A$, $A\neq\emptyset$, existe $x\in A$ tal que $x\cap A = \emptyset$.

Primero demostramos $\epsilon$ es un orden total en $A$. Si $A$ está vacío, no hay nada que hacer. Así que supongamos $A$ es no vacío.

Reivindicación 1. Si $a,b\in A$, e $a\subseteq b$, entonces cualquiera de las $a=b$ o $a\in b$.

Vamos $$S = \{ b\in A\mid \text{there exists }a\in A\text{ such that }a\subseteq b\text{ and }a\neq b, a\notin b\}.$$ Queremos mostrar que $S$ está vacía. Si $S$ no está vacío, entonces por el Axioma de Regularidad existe $b\in S$ tal que $b\cap S=\emptyset$. Deje $a$ ser un testimonio del hecho de que $b\in S$ (que es, $a\subseteq b$, $a\neq b$, y $a\notin b$.

A continuación, $b-a$ es no vacío, entonces por el Axioma de Regularidad existe $x\in b-a$ tal que $x\cap (b-a)=\emptyset$. Desde $x\in b$ $b$ es transitiva, $x\subseteq b$; desde $x\cap(b-a)=\emptyset$, entonces también debemos tener $x\subseteq a$. Desde $x\in b$ pero $a\notin b$,$x\neq a$. Por lo tanto, $a-x\neq \emptyset$. De nuevo por la Regularidad que existe $y\in a-x$ tal que $y\cap (a-x)=\emptyset$. Desde $a$ es transitiva y $y\in a$, $y\subseteq a$, y como en el anterior, esto implica que $y\subseteq x$, ya que los $y\cap(a-x)=\emptyset$.

Desde $x\in b$, e $b\in A$,$x\in A$. Por otra parte, desde la $b\cap S=\emptyset$,$x\notin S$, por lo que desde $y\subseteq x$, se deduce que, o bien $y=x$ o $y\in x$. Pero $x\in b-a$, e $y\in a-x$, por lo que no podemos tener $y=x$, por lo tanto llegamos a la conclusión de que $y\in x$. Pero $y\in a-x$, lo que significa que $y\notin x$. Esta contradicción surge de la suposición de que $S\neq \emptyset$, lo $S=\emptyset$.

Por lo tanto, para cualquier $a,b\in A$ si $a\subseteq b$, entonces cualquiera de las $a=b$ o $a\in b$.

Reivindicación 2. Si $a,b\in A$$b\not\subseteq a$,$a\in b$.

Supongamos que $b\not\subseteq a$. Usar la base, vamos a $x\in b-a$ tal que $x\cap (b-a)=\emptyset$. Desde $x\in b$ $b$ es transitiva, $x\subseteq b$, por lo tanto $x\subseteq a$. Por la Reivindicación 1, $x=a$ o $x\in a$; el último es imposible, ya que $x\in b-a$, lo $x=a$. Por lo tanto, $a\in b$.

Poner los dos juntos: vamos a $A$ ser transitivo conjunto de conjuntos transitivos, y deje $a,b\in A$. Si $b\subseteq a$, entonces cualquiera de las $b=a$ o $b\in a$, por la Reivindicación 1; si $b\not\subseteq a$, $a\in b$ por la Reivindicación 2. De cualquier manera, dado cualquier $a,b\in A$, tenemos que, o bien $a\in b$, $a=b$, o $b\in a$, lo que demuestra que el $\epsilon$ es un estricto orden total en $A$.