Prueba de la ley cero-uno de Levy

Question

Dejemos que $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb P)$ sea un espacio de probabilidad y sea $X$ sea una variable aleatoria en $L^1$ . Sea $(\mathcal{F}_k)_k$ sea una filtración cualquiera, y definir $\mathcal{F}_{\infty}$ para ser el mínimo $$-algebra generated by $ (\mathcal{F}_k)_k$. Entonces

$$E[X|\mathcal{F}_k]\rightarrow E[X|\mathcal{F}_{\infty}],\ \ k\rightarrow\infty$$

ambos $\mathbb P$ -casi seguro y en $L^1$ .

¿Podría alguien darme una prueba de esta proposición o una referencia? Muchas gracias.

Answer 1

Dejemos que $Y_n = E(X| \mathcal{F}_n)$ . Entonces $Y_n$ es una martingala, y $$\sup_n E(|Y_n|) = \sup_n E(|E(X| \mathcal{F}_n)|) \leq \sup_n E(E(|X||\mathcal{F}_n)) = E(|X|) $$ donde el límite en el medio se debe a la desigualdad condicional de Jensen.

Ahora la artillería pesada, por el teorema de convergencia de Doob $Y_\infty := \lim_{n \to \infty} Y_n$ existe casi con toda seguridad. Y como la secuencia está dominada por $X$ (de nuevo Jensen condicional) concluimos la $L^1$ convergencia y, por tanto, la convergencia en probabilidad.

Puede encontrar el teorema de convergencia de Doob en "Probabilidad con Martingalas" de Williams Thm. 11.5. Es un resultado bastante importante basado en un "argumento de banda" y puede extenderse a las martingalas de tiempo continuo.

Answer 2

Muchas gracias por A Blumenthal y Bunder, pude realizar la prueba.

En primer lugar, demostramos que $X_{\infty}$ es medible con respecto a $\mathcal{F}_{\infty}$ . Para cada $X_n$ es medible en $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{F}_n$ Así que en $\mathcal{F}_{\infty}$ , entonces el límite a.s. $X_{\infty}$ es medible en $\mathcal{F}_{\infty}$ .

Entonces tenemos que mostrar

$$(1)\ \ E[1_{A}X]=E[1_{A}X_{\infty}],\ \ \forall A\in\cup_n\mathcal{F}_n$$

implica

$$(2)\ \ E[1_{A}X]=E[1_{A}X_{\infty}],\ \ \forall A\in\mathcal{F}_{\infty}=\sigma(\cup_n\mathcal{F}_n)$$

Dejemos que $\mathcal{F}:=\{A\in\mathcal{F}_{\infty}: (1) \text{ holds}\}$ entonces vemos que $\mathcal{F}$ es un $\lambda$ -sistema:

1. $\Omega\in\mathcal{F}$ ;

2. si $A\subset B\in\mathcal{F}$ entonces $B\A\in\mathcal{F}$ ;

3. si $A_n$ es una secuencia de conjuntos en $\mathcal{F}$ s.t $A_n\subset A_{n+1}$ entonces por el teorema de convergencia dominante tenemos $\cup_nA_n\in\mathcal{F}$

y $\cup_n\mathcal{F}_n$ es un $\pi$ -sistema:

1. $\cup_n\mathcal{F}_n$ no está vacío;

2. si $A$ , $B\in\mathcal{F}$ entonces $A\cap B\in\mathcal{F}$

Por el teorema del sistema de Dynkin tenemos $\mathcal{F}=\mathcal{F}_{\infty}$ por lo que, por definición, demostramos que $X_{\infty}=E[X|\mathcal{F}_{\infty}]$ .

Answer 3

He decidido que esta parte era demasiado larga para un comentario. Sabemos que con $X_k = E[X \mid \mathcal{F}_k]$ tenemos $$ X_k \rightarrow X_{\infty} $$ en $L^1$ y casi seguramente para algunos $L^1$ variable aleatoria $X_{\infty}$ .

Recordemos que $\mathcal{F}_{\infty} = \sigma \left(\cup_k \mathcal{F}_k \right)$ . Para demostrar que $X_{\infty} = E[X \mid \mathcal{F}_{\infty}]$ apelaremos a la propiedad definitoria de la expectativa condicional: debemos demostrar que $$ (*) ~E[X I_A ] = E[X_{\infty} I_A] $$ para todos $A \in \mathcal{F}_{\infty}$ . Convénzase de que $(*)$ es válida para todos los $A \in \mathcal{F}_k$ para cualquier $k$ (Sugerencia: utilice la convergencia dominada), y por lo tanto que $(*)$ es válida para todos los $A \in\cup_k \mathcal{F}_k$ ya que se trata de un sindicato cada vez más numeroso.

Hay un problema técnico aquí, que $\cup_k \mathcal{F}_k$ es simplemente un álgebra, y no generalmente una sigma-álgebra. Resolver esto es un buen ejercicio de aplicación de la teoría de Dynkin $\pi-\lambda$ teorema. Intenta resolverlo utilizando el hecho de que $\cup_k \mathcal{F}_k$ es un $\pi$ -y demostrar que el conjunto de $A \in \mathcal{F}_{\infty}$ para lo cual $(*)$ tiene es un $\lambda$ -sistema.