¿Pueden resolverse problemas de funciones propias multidimensionales con precisión arbitraria y uso constante de memoria?

Question

Supongamos que tenemos un operador diferencial como un hamiltoniano mecánico cuántico:

$$\hat H=-\nabla^2+U$$ con condiciones de contorno cero de Dirichlet.

En una dimensión sus valores propios se pueden encontrar fácilmente utilizando, por ejemplo método de disparo almacenando sólo unos pocos números en cualquier etapa del cálculo. Una vez encontrado el valor propio con la precisión deseada, es trivial muestrear la función propia en alguna malla (posiblemente dispersa) con alta precisión.

En $N>1$ dimensiones este enfoque no funcionaría, porque la resolución de un problema de Cauchy requiere al menos almacenar $N-1$ -en cada etapa.

Entonces, mi pregunta es: ¿hay algún método, que lo haga en principio posible calcular al menos los valores propios, mejor si también las funciones propias de $N$ -operador diferencial de dimensiones con una precisión arbitraria, sin necesidad de almacenar más que un número constante de valores (que puede depender de $N$ ¿pero no en la precisión deseada)?

Si no es en general, tal vez haya algo así para algunas $N>1$ como $N=2$ ?

Answer 1

La diferencia entre $N=1$ y $N>1$ es que la ecuación es una EDO para $N=1$ mientras que es una EDP para $N>1$ . Así que no es de extrañar que para $N=1$ hay métodos mucho más eficientes. No conozco una forma de resolver numéricamente una EDP sin almacenar la función en una malla. Y parece poco probable que se pueda resolver el problema de valores propios sin resolver primero la EDP.