Una solución real de una ecuación cúbica

Question

¿Cuál es la forma más fácil de encontrar la solución real de la ecuación $x^3-6x^2+6x-2=0$ ?

Sé que la solución es $x=2+2^{2/3}+2^{1/3}$ (Mathematica) pero me gustaría encontrarlo analíticamente. Si es posible, no enchufando los coeficientes en la fórmula de Cardano o similar.

Answer 1

Si $$x^3-6x^2+6x-2=0,$$ entonces $$2x^3-6x^2+6x-2=x^3,$$ para que $$2(x^3-3x^2+3x-1)=x^3$$ es decir $$2(x-1)^3 = x^3.$$ Tomando las raíces cúbicas de ambos lados se obtienen 3 posibilidades, una de las cuales es $$2^{1/3}(x-1) = x$$ de la cual $$x = \frac{2^{1/3}}{2^{1/3}-1}$$ y esto da la raíz que quieres.

Answer 2

Como en la norma Solución Cardano, escribimos $x=y+2$ . Así que la ecuación se convierte en $y^3+6y^2+12y+8-6(y^2+4y+4)+6(y+2)-2=0$ . Esto se simplifica a $y^3-6y-6=0$ . En la notación del artículo enlazado tenemos $p=q=-6$ .

Desde $\dfrac{p^2}{4}+\dfrac{q^3}{27}=1$ El Método Cardano funciona de forma excepcionalmente sencilla.

Añadido: Fácil, pero no es lo más fácil. El método de Old John es ese.

Answer 3

$$\begin{equation*} x^{3}-6x^{2}+6x-2=0 \tag{1} \end{equation*}$$ Establecer $x=t+2.$ Entonces $$\begin{equation*} t^{3}-6t-6=0\tag{2} \end{equation*}$$

Establecer $t=u+v.$ Entonces

\begin{equation*} ( u+v) ^{3}-6\left( u+v\right) -6=0, \end{equation*}

\begin{eqnarray*} \left( u+v\right) ^{3}-6\left( u+v\right) -6 &=&( u^{3}+v^{3}-6) +(3u^{2}v+3uv^{2}-6u-6v) \\ &=&( u^{3}+v^{3}-6) +( 3uv-6) ( u+v) \end{eqnarray*}

Si las variables auxiliares $u,v$ satisfacen el siguiente sistema, $t$ satisface $(2)$ . \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{c} u^{3}+v^{3}=6 \\ 3uv=6 \end{array} \derecha. \Izquierda-flecha-izquierda. \begin{array}{c} u^{3}+v^{3}=6 \\ u^{3}v^{3}=8. \end{array} \derecha. \Fin ecuación

Establecer $U=u^{3},V=v^{3}$ . Dado que conocemos la suma y el producto de $U,V$ tenemos \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{c} U+V=6 \\ UV=8 \end{array} \derecha. \Izquierda-flecha-izquierda. \begin{array}{c} U=u^{3}=4, \\ V=v^{3}=2 \end{array} \N - derecha. \N - Izquierda. \begin{array}{c} U=u^{3}=2, \\ V=v^{3}=4. \end{array} \derecha. \Fin ecuación

La pareja $(u,v)=(2^{\frac{2}{3}},2^{\frac{1}{3}})$ conduce a una de las soluciones de $(2)$ la solución \begin{equation*} t=u+v=2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}}.\tag{3} \end{equation*} La solución correspondiente de $(1)$ es por lo tanto \begin{equation*} x=t+2=2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}}+2.\tag{4} \end{equation*}

Observación: Esto concuerda con la antigua $\ $ El método creativo de John, porque $( 2^{ \frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}}+2) ( 2^{\frac{1}{3}}-1) =2^{\frac{1}{3}}$ .

AÑADIDO. Las otras raíces de $(1)$ son conjugados complejos.