Integral $\int_0^1\frac{x^9\left(x^4+x^2-x-1-5\ln x\right)}{\left(x^{10}-1\right)\ln x}\mathrm dx$

Question

Una amiga me envió una integral que no había podido descifrar, y yo tampoco. Viene con un resultado, pero sin demostración (supongo que se originó en algún concurso de matemáticas). ¿Podríais sugerirme alguna forma de demostrar el resultado?

$$\int_0^1\frac{x^9\left(x^4+x^2-x-1-5\ln x\right)}{\left(x^{10}-1\right)\ln x}\mathrm dx=\frac12\gamma+\frac{11}5\ln2-\frac54\ln5+\frac12\ln\pi-\frac12\ln\phi,$$ donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni, y $\phi$ es la proporción áurea.

Answer 1

Denotemos la integral en cuestión como $$I=\int_0^1\frac{x^9\left(x^4+x^2-x-1-5\ln x\right)}{\left(x^{10}-1\right)\ln x}dx.\tag1$$ Modificación de la variable $x=y^{1/10}$ y renombrando $y$ volver a $x$ obtenemos $$I=\int_0^1\frac{x^{2/5}+x^{1/5}-x^{1/10}-1-\ln\sqrt x}{(x-1)\ln x}dx.\tag2$$ Algunas transformaciones elementales muestran que $$I=\mathcal{J}(2/5)+\mathcal{J}(1/5)-\mathcal{J}(1/10),\tag3$$ donde hemos introducido la notación $$\mathcal{J}(q)=\int_0^1\frac{x^q-1-q\,\ln x}{(x-1)\ln x}dx.\tag4$$ La integral $\mathcal{J}(q)$ puede evaluarse del siguiente modo: $$\begin{align}\mathcal{J}(q)=\int_0^1\int_0^q\frac{x^p-1}{x-1}dp\,dx=\int_0^q\underbrace{\int_0^1\frac{x^p-1}{x-1}dx}_{\text{DLMF 5.9.16}}\,dp\\=\int_0^q H_p\,dp=q\cdot\gamma+\ln\Gamma(q+1),\end{align}\tag5$$ donde $H_p$ son números armónicos: $H_p$$\,=\,$$\gamma$$\,+\,$$\psi_0$$(p+1)$ et $\psi_0$ es la función digamma: $\psi_0(x)=\frac{d}{dx}\ln\,$$\Gamma$$(x)$ . Permítanme mencionar que la fórmula DLMF 5.9.16 resulta especialmente evidente para los enteros positivos $p$ cuando $H_p=\sum_{n=1}^pn^{-1}$ .

Enchufar $(5)$ de nuevo en $(3)$ obtenemos $$I=\frac12\gamma+\ln\frac45+\ln\frac{\Gamma\left(\frac15\right)\Gamma\left(\frac25\right)}{\Gamma\left(\frac1{10}\right)}.\tag6$$ A partir de la fórmula $(74)$ en este MathWorld página sabemos que $$\frac{\Gamma\left(\frac15\right)\Gamma\left(\frac25\right)}{\Gamma\left(\frac1{10}\right)}=\frac{\sqrt[5]2\,\sqrt\pi}{\sqrt[4]5\,\sqrt\phi}.\tag7$$ (véase el documento Raimundas Vidūnas, Expresiones de los valores de la función gamma para obtener una prueba).

Utilizando esta fórmula, obtenemos el resultado final $$I=\frac12\gamma+\frac{11}5\ln2-\frac54\ln5+\frac12\ln\pi-\frac12\ln\phi.\tag8$$