Epsilon Delta prueba de un suelo en función de

Question

Tengo que dar una prueba para una función, pero yo estoy luchando para agarrar el concepto principal.

$$\lim_{x \to 3} \left\lfloor \frac{x}{2}\right\rfloor = 1 $$

Aquí es lo que he encontrado: $$\frac{x}{2} - 1 \lt \left\lfloor \frac{x}{2}\right\rfloor \lt \frac{x}{2} + 1$$

Pero estoy atascado ya que desde aqui no puedo usar otra cosa pero $\varepsilon$-$\delta$ (lo que significa que ningún teorema del sándwich.) Cada uno de los límites (por cada lado) no es útil. Puedo obtener: $$ \frac{1}{2} \lt \lim_{x \to 3} \left\lfloor \frac{x}{2}\right\rfloor \lt \frac{5}{2}$$

Cualquier aclaración es bienvenida! Gracias!

Answer 1

Sugerencia: en Primer lugar, tenga en cuenta que $\lfloor x \rfloor$ es siempre un número entero. Utilice este hecho, junto con el hecho de que $x -1 < \lfloor x \rfloor \leq x$.

EDIT: Por cierto, su objetivo es demostrar que para todos los $\epsilon > 0$, existe un $\delta > 0$, de tal manera que

$$0 < |x - 3 | < \delta \Longrightarrow \left| \left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor - 3\right| < \epsilon.$$

Este debe ser factible con las dos observaciones anteriores. Su observación que mencionas es correcto, pero no es útil (para su prueba, de todos modos) debido a que su intervalo de $(1/2, 5/2)$ incluye dos valores enteros. Por otro lado, las desigualdades $x - 1 < \lfloor x \rfloor \leq x$ muestran que $\lfloor x \rfloor$ es el único número entero en el intervalo de $(x-1, x]$.

Answer 2

Usted puede utilizar el hecho de que $⌊\frac{x}{2}⌋$ es constante en $[2,4)$, lo que para cualquier ϵ>0,δ=0.5 (o cualquier otro número <1) obras.