La relación entre los ejes de las rotaciones 3D

Question

Supongamos que tenemos dos rotaciones alrededor de dos ejes diferentes representados por vectores $v_1$$v_2$: $R_1(v_1, \theta_1)$, $R_2(v_2,\theta_2)$.

Es relativamente fácil demostrar que la composición de estos dos rotaciones da la rotación alrededor de su eje $v_3$ distinta de ejes $v_1$$v_2$ .

De hecho
si, por ejemplo, $v_3=v_1$
$R_1(v_1, \theta_1) R_2(v_2,\theta_2)=R_3(v_1,\theta_3)$ conduce a $R_2(v_2,\theta_2)=R_1^T(v_1, \theta_1)R_3(v_1,\theta_3)=R(v_1,\theta_3 -\theta_1)$ lo que da $v_1=v_2$. ... La contradicción...
Vemos que la composición de dos rotaciones sobre diferentes ejes que siempre genera un nuevo eje de rotación.

El problema puede ser ampliado a condición de que el plano generado por los ejes.

Pregunta:

• Es cierto que la composición de dos rotaciones genera el eje que no pertenecen al plano que se construye por el original de los ejes de rotación ?

• Cómo demostrarlo ?

• Si la declaración no es sin embargo cierto ¿cuáles son las condiciones para el cambio de un avión durante la composición de rotaciones $ ^{[1]}$ ?

$ ^{[1]}$ Se puede observar que incluso en el caso de bastante regular las rotaciones de la declaración es verdadera

Vamos a tomar $Rot(z,\dfrac{\pi}{2})Rot(x,\dfrac{\pi}{2})= \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = Rot([1,1,1]^T, \dfrac{2}{3}\pi)$

o

$Rot(x, \pi )Rot(z, \pi )= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix} = Rot( y, \pi)$

Así que supongo que es cierto en general, pero ¿cómo demostrarlo ?

Answer 1

Esto puede verse fácilmente si asumimos que la familiaridad con el uso de la unidad de cuaterniones en la representación de las rotaciones. Una rotación $R$ sobre el eje determinado $\vec{v}=v_1\bf{i}+v_2\bf{j}+v_3\bf{k}$ por el ángulo de $\theta$ está representado por los cuaterniones $$ q=\cos\frac\theta2+\sin\frac\theta2\vec{v}. $$ Aquí lo fundamental es que $\vec{v}$ es un vector unitario. La conexión es que la versión rotada $R\vec{u}$ de un vector $\vec{u}$ es el dado por el producto de cuaterniones $$ R\vec{u}=q\vec{u}\overline{q}, $$ donde $\overline{q}=\cos\frac\theta2-\sin\frac\theta2\vec{v}$ es el conjugado de cuaterniones.

La composición de dos rotaciones es, a continuación, se reproducen fielmente como un producto de la representación de cuaterniones. Así, si otro rotación $R'$ está representado por $q'=\cos\frac\alpha2+\sin\frac\alpha2\vec{v}'$, la composición de la $R'\circ R$ es representado por el producto $$ \begin{aligned} qq'&=\left(\cos\frac\alpha2\cos\frac\theta2-\sin\frac\alpha2\sin\frac\theta2\,\vec{v}'\cdot\vec{v}\right)+\\ &+\cos\frac\alpha2\sin\frac\theta2\vec{v}+\cos\frac\theta2\sin\frac\alpha2\vec{v}'+\sin\frac\alpha2\sin\frac\theta2\,\vec{v}'\times\vec{v}. \end{aligned} $$ Desde la segunda fila podemos leer el eje de la composición es el vector unitario paralelo a la combinación lineal de $\vec{v}$, $\vec{v}'$ y su producto cruzado. Los primeros dos términos están en el plano $T$ atravesado por $\vec{v}$$\vec{v}'$, pero el producto vectorial es perpendicular a $T$. Por lo tanto, el eje de la combinación de la rotación es en el plano de la $T$ si y sólo si el producto cruzado término es cero. Cualquiera de los senos se desvanece sólo cuando la rotación es trivial ($\alpha=0$ o $\theta=0$). La cruz del producto se desvanece iff $\vec{v}$ $\vec{v}'$ son paralelas.

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En otras palabras, su corazonada es correcta.

Answer 2

Usando cuaterniones, como en Jyrki la respuesta, es sencillo y proporciona alguna información útil sobre la naturaleza de la resultante de la rotación. Como sospechaba, el resultado también puede ser encontrado de otra manera.

Supongamos que el nuevo eje de rotación es coplanar con el original de los ejes. Puesto que los vectores a lo largo del eje de rotación son vectores propios de a $1$, debemos tener $$R_1R_2(av_1+bv_2)=av_1+bv_2$$ for some $a$ and $b$ not both zero. Rearranging and again using the fact that $v_1$ and $v_2$ are eigenvectors of the respective rotations gives $$a(R_2-I)v_1=b(R_1^{-1}-I)v_2.$$ Wlog we can take $v_1$ and $v_2$ to be unit vectors. Substituting Rodrigues' formula for the rotations then makes this $$a[(1-\cos{\theta_2})v_2\times(v_2\times v_1)+\sin{\theta_2}(v_2\times v_1)] = b[(1-\cos{\theta_1})v_1\times(v_1\times v_2)-\sin{\theta_1}(v_1\times v_2)]$$ which can be rearranged as $$[a(1-\cos{\theta_2})v_2+b(1-\cos{\theta_1})v_1]\times(v_2\times v_1) + (a\sin{\theta_2}-b\sin{\theta_1})(v_2\times v_1) = 0.\tag{*}$$ This clearly holds if $v_1$ and $v_2$ are colinear. If they aren't, then the two vectors being added together in (*) are orthogonal, so they must both be zero. Any linear combination of $v_1$ and $v_2$ is orthogonal to $v_1\veces v_2$, so the expression in square brackets must be zero, and since by hypothesis $v_1$ and $v_2$ are not colinear, we have $a(1-\cos{\theta_2})=0$ and $b(1-\cos{\theta_1})=0$, por lo tanto al menos uno de los ángulos de rotación debe ser cero.