Polinomios y particiones

Question

Hay una pregunta que me han basado en el hecho de que: Si usted toma una ecuación cuadrática polinomio con coeficientes enteros, llevarse el set $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, hacer una partición $A=\{1,4,6,7\}$, $B=\{2,3,5,8\}$, y, a continuación, evaluar el polinomio con los elementos de cada conjunto que consiguió una igualdad.

Si ahora con un polinomio cúbico y el conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16\}$, de cómo seleccionar un adecuado partición que lograr el mismo efecto? Que quiero decir es que no hay una fórmula general para un mayor grado?

Answer 1

Si he entendido correctamente la pregunta, la siguiente construcción de la obra. Comenzamos con dos conjuntos de $A_1=\{1,4\}$ $B_1=\{2,3\}$ (puede ser igual de bien del mismo modo la partición del conjunto de $\{0,1,2,3\}$, pero parece que preguntando acerca de este conjunto). Observamos que $$ \sum_{x\in A_1}x=1+4=5=2+3=\sum_{x\in B_1}x. $$ Debido a que ambos conjuntos de dos elementos (o, equivalentemente, $\sum_{x\in A_1}x^0=\sum_{x\in B_1}x^0$) se deduce que para cualquier polinomio lineal $f$ también tenemos $$ \sum_{x\in A_1}f(x)=\sum_{x\in B_1}f(x). $$ Queremos un resultado similar para mantener para polinomios cuadráticos $f$, demasiado. Para ello debemos hacer uso de grandes conjuntos y definir $$ A_2=A_1\cup\{4+x\a mediados de x\in B_1\},\qquad B_2=B_1\cup\{4+x\a mediados de x\in A_1\}. $$ Nos damos cuenta de que $A_2\cap B_2=\emptyset$ $A_2\cup B_2=\{1,2,\ldots,8\}.$ A continuación, obtener la propiedad descrita en la pregunta: $$ \sum_{x\in A_2}x^k=\sum_{x\in B_2}x^k $$ para todos los $k=0,1,2$. Esto es más o menos inmediato para $k=0,1$. Al $k=2$ se desprende de el cálculo $$ \begin{aligned} \sum_{x\in A_2}x^2&=\sum_{x\in A_1}x^2+\sum_{x\in B_1}(4+x)^2\\ &=\sum_{x\in A_1\cup B_1}x^2+\sum_{x\in B_1}(16+8x)\\ &=\sum_{x\in A_1\cup B_1}x^2+16|B_1|+8\sum_{x\in B_1}x, \end{aligned} $$ y el correspondiente cálculo $$ \begin{aligned} \sum_{x\in B_2}x^2&=\sum_{x\in B_1}x^2+\sum_{x\in A_1}(4+x)^2\\ &=\sum_{x\in A_1\cup B_1}x^2+\sum_{x\in A_1}(16+8x)\\ &=\sum_{x\in A_1\cup B_1}x^2+16|A_1|+8\sum_{x\in A_1}x. \end{aligned} $$ A partir de nuestros resultados anteriores acerca de las sumas de los conjuntos de $A_1$ $B_1$ se desprende que estas sumas son iguales. A continuación, se deduce que la suma de los valores de los polinomios cuadráticos sobre los conjuntos de $A_2$ $B_2$ está de acuerdo.

Usted sabía todo esto, así que vamos a pasar. Vamos definidos de forma recursiva dos conjuntos de $A_k$ $B_k$ tal que $A_k\cap B_k=\emptyset$, $A_k\cup B_k=\{1,2,\ldots,2^{k+1}\}$, y que el poder de las sumas son iguales $$ \sum_{x\in A_k}x^j=\sum_{x\in B_k}x^j $$ para todos los $j=0,1,2,\ldots, k$.

Supongamos que hemos conseguido hacer lo anterior hasta som valor de $k$. A continuación definimos $$ A_{k+1}=A_k\cup\{2^{k+1}+x\a mediados de x\in B_k\},\qquad B_{k+1}=B_k\cup\{2^{k+1}+x\a mediados de x\en A_k\}. $$ Afirmo que esto funciona. Observe que $A_{k+1}$ contiene todos los de $A_k$ y, a continuación, algunos de los nuevos números enteros en el rango de $[2^{k+1}+1,2^{k+2}]$. Asimismo, para $B_{k+1}$. Los enteros en esta nueva gama se divide igualmente en dos partes, debido a que por la hipótesis de inducción estaban tan divididos en el paso anterior. La suma de la energía de la igualdad es probado en la misma forma. Tenemos la fórmula binominal. Se va a presentar un menor grado de poder de sumas de dinero, pero estos fueron cubiertos por la hipótesis de inducción, así que vamos a estar bien. Vamos a rodar, y elegir un exponente $j$ en el rango $0\le j\le {k+1}$. $$ \begin{aligned} \sum_{x\in A_{k+1}}x^j&=\sum_{x\in A_k}x^j+\sum_{x\in B_k}(2^{k+1}+x)^j\\ &=\sum_{x\in A_k}x^j+\sum_{x\in B_k}\left(\sum_{\ell=0}^j{j\choose\ell}2^{(k+1)(j-\ell)}x^\ell\right)\\ &=\sum_{x\in A_k\cup B_k}x^j+\sum_{x\in B_k}\left(\sum_{\ell=0}^{j-1}{j\choose\ell}2^{(k+1)(j-\ell)}x^\ell\right)\\ \end{aligned} $$ Aquí, en la última línea de $\ell<j=k+1$, de modo que por la hipótesis de inducción se puede sustituir $B_k$$A_k$, y continuar $$ \begin{aligned} &=\sum_{x\in A_k\cup B_k}x^j+\sum_{x\in A_k}\left(\sum_{\ell=0}^{j-1}{j\choose\ell}2^{(k+1)(j-\ell)}x^\ell\right)\\ &=\sum_{x\in B_k}x^j+\sum_{x\in A_k}\left(\sum_{\ell=0}^{j}{j\choose\ell}2^{(k+1)(j-\ell)}x^\ell\right)\\ &=\sum_{x\in B_k}x^j+\sum_{x\in A_k}(2^{k+1}+x)^j\\ &=\sum_{x\in B_{k+1}}x^j, \end{aligned} $$ como se reivindica. El paso inductivo es por lo tanto válido, y el reclamo demostrado para todos los $k$.

Estaban particularmente interesados en los conjuntos de $A_3$$B_3$. Aquí están $$ A_3=\{1,4,6,7,10,11,13,16\},\qquad B_3=\{2,3,5,8,9,12,14,15\}. $$ El conjunto $A_3$ es la unión de $A_2$ y todos los números obtenido mediante la adición de $8$ a los elementos de la $B_2$. Del mismo modo $B_3$ contiene todos los números de $B_2$ así como aquellos obtenido mediante la adición de $8$ a un elemento de $A_2$.

En todos los pasos a sabiendas de que el monomio sumas todos de acuerdo hasta cierto punto, por supuesto, implica que la suma de valores de cualquier polinomio hasta que grado, a continuación, también de acuerdo.

Answer 2

Aquí hay otra manera de mirar el problema. Asumir la notación,

$$[a_1,a_2,\dots,a_m]^k = a_1^k + a_2^k +\dots +a_m^k$$

Teorema: (Alquitranado-Escott) Si,

$$[a_1,a_2,\dots,a_m]^k = [b_1,b_2,\dots,b_m]^k,\;\; \text{for}\, k = 1,2,3,\dots,n$$

a continuación, para cualquier constante $c$,

$$[a_1,\dots,a_m,\,c+b_1,\dots, c+b_m]^k = [b_1,\dots,b_m,\,c+a_1,\dots, c+a_m]^k \\ \text{for}\, k=1,2,3,\dots, n+1$$

Esto duplica el número de términos, pero se puede subir la escalera de poderes tan alto como quieras. Por ejemplo, comenzando con,

$$[1,4]^k = [2,3]^k,\;\; \text{for}\, k = 1$$

utilizando el teorema de la, nos,

$$[1,\,4,\,c_1+2,\,c_1+3]^k = [2,\,3,\,c_1+1,\,c_1+4]^k,\\ \text{for}\, k = 1,2$$

válido para cualquier $c_1$. Si utilizamos $c_1 = 4$, podemos recuperar su $[1,\,4,\,6,\,7]^k = [2,\,3,\,5,\,8]^k$. Utilizando el teorema de nuevo, tenemos,

$$[1,\,4,\,6,\,7,\,c_2+2,\,c_2+3,\,c_2+5,\,c_2+8]^k = [2,\,3,\,5,\,8,\,c_2+1,\,c_2+4,\,c_2+6,\,c_2+7]^k,\\ \text{for}\, k = 1,2,3$$

válido para cualquier $c_2$, y en la que podemos elegir $c_2 = 8$ por lo que las condiciones son de $1,2,\dots, 16.$ Y así sucesivamente para cualquier $k = 1,2,3,\dots,n$.