¿Es una función continua si la definición de secuencia sólo es válida para "casi todas las secuencias"?

Question

Por la definición de una función continua, $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es continua en $x$ si y sólo si para cualquier secuencia $x_n\to x$ también se cumple que $f(x_n)\to f(x)$ .

Mi pregunta es la siguiente: Supongamos que $M\subseteq \mathbb{R}$ tiene medida cero. En cada punto $x\in\mathbb{R}$ y cualquier secuencia convergente $x_n\to x$ tal que $x_n\in\mathbb{R}\setminus M$ también se cumple que $f(x_n)\to f(x)$ .

Es $f$ ¿continuo? ¿Por qué razón? ¿O hay algún contraejemplo?

Answer 1

Sí, tal $f$ es continua. En primer lugar, recordemos que un conjunto de medida cero tiene el interior vacío; el argumento se aplica a cualquier conjunto $M$ con el interior vacío.

Supongamos, por el contrario, que existe $a\in \mathbb{R}$ y una secuencia $(x_n)\to a$ tal que $f(x_n)$ no converge a $f(a)$ . Para cada $n$ elige una secuencia $(t^{(n)}_k)$ contenida en $\mathbb{R}\setminus M$ y convergiendo a $x_n$ ; tal secuencia existe porque $M$ tiene el interior vacío.

Por el supuesto, $f(t^{(n)}_k)\to f(x_n)$ como $k\to\infty$ . Por lo tanto, existe $k$ tal que $$|t^{(n)}_k - x_n |<\frac1n\quad\text{ and } \quad |f(t^{(n)}_k) - f(x_n)|<\frac1n$$ Denote esto $t^{(n)}_k$ como $s_n $ por brevedad. La secuencia $(s_n)$ se encuentra en $\mathbb{R}\setminus M$ converge a $a$ pero $f(s_n)\not\to f(a)$ . Contradicción.