¿Son dos vectores iguales si su producto interior con cada vector de algún conjunto generador es el mismo?

Question

Necesito decidir si lo siguiente es cierto (y, por supuesto, justificarlo): dado $V = [v_1, v_2, ..., v_n]$ , $v$ , $w$ en $V$ y $<v,v_i> = <w,v_i>$ para cualquier $i$ Así que $v = w$ .

He escrito lo siguiente: si $v$ está en V, tenemos $ v = \alpha_1v1 + \alpha_2v_2 + \dots + \alpha_nv_n$ . Lo mismo ocurre con $w$ : $w = \beta_1v_1 + \beta_2v_2 + \dots + \beta_nv_n$ . Ahora $<v,v_i> = <\alpha_1v1 + \alpha_2v_2 + \dots + \alpha_nv_n, v_i>$ y $<w,v_i> = <\beta_1v_1 + \beta_2v_2 + \dots + \beta_nv_n, v_i>$ .

Pero $<v,v_i> = <\alpha_1v1 + \alpha_2v_2 + \dots + \alpha_nv_n, v_i> = \alpha_1<v_1,v_i> + \alpha_2<v_2,v_i> + \dots + \alpha_n<v_n,v_i>$ debido a la propiedad de linealidad del producto interno. También, $<w,v_i> = <\beta_1v1 + \beta_2v_2 + \dots + \beta_nv_n, v_i> = \beta_1<v_1,v_i> + \beta_2<v_2,v_i> + \dots + \beta_n<v_n,v_i>$ .

La única manera de tener $<v,v_i> = <w,v_i>$ es si $\alpha_j = \beta_j, j = 1, \dots, n$ . Pero si $\alpha_j = \beta_j, j = 1, \dots, n$ implica $v=w$ porque son del mismo lapso.

¿Es esto correcto? ¿Es suficiente para justificar? La prueba seguiría siendo válida si no se dijera nada sobre $v$ y $w$ en $V$ ?

Answer 1

Esto es correcto.

Otra forma sería suponer $v\neq w$ . Entonces $v-w\neq0$ para que $$ \left\langle v-w, v-w\right\rangle =\left\lVert v-w\right\rVert^2 >0 $$ Por otro lado, el vector no nulo $v-w$ está garantizado que es un vector en una base, por lo que $$ \left\langle v-w, v-w\right\rangle = \langle v, v-w\rangle-\langle w, v-w\rangle = \langle v, v-w\rangle-\langle v, v-w\rangle = 0 $$ Esta contradicción implica que $v=w$ .

Answer 2

Así es como yo lo mostraría

Dejemos que $v,w\in V$ se expresan como combinaciones lineales de los vectores base de $V$ . Dado que asumimos $v\neq w$ , $\exists b_i\in B$ la base, tal que en la combinación lineal, el coeficiente de $b_i$ para $v$ que llamamos $v_{bi}$ es diferente del coeficiente de $b_i$ en $w$ La combinación lineal de la empresa, indicada por $w_{bi}$ .

Por lo tanto, $v\cdot b_i=v_{bi}$ y $w\cdot b_i=w_{bi}$ Así que $<v,v_i> \neq <w,v_i>$ para todos $v_i$ . Hemos demostrado el contrapositivo, así que hemos terminado.

Answer 3

Supongo que en esencia lo tienes... Aquí está mi intento:

Para algunos $k\le n$ , $\{v_{i_1},\dots, v_{i_k}\}\subset\{v_1,\dots, v_n\}$ es una base para $V$ .

Aplicar la hipótesis para obtener que $v$ y $w$ tienen los mismos componentes relativos a esta base. En concreto, $\frac{\langle v,v_{i_j}\rangle}{\mid v_{i_j}\mid^2}=\frac{\langle w,v_{i_j}\rangle}{\mid v_{i_j}\mid^2}$ es el $j$ de los dos componentes $v$ y $w$ , $j=1,\dots, k$ . Eso demuestra $v=w$ .