Inyectiva homomorphism de finito abelian grupo a grupo simétrico

Question

Este es el ejercicio que estoy mirando:

$i)$ Hay un inyectiva homomorphism de $\mathbb Z/10 \rightarrow S_7$?

$ii)$ Hay un inyectiva homomorphism de $\mathbb Z/8 \rightarrow S_7$?

Mi problema aquí es que este ejercicio se llama "ciclo de descomposición", pero no sé cómo este ejercicio tiene nada que ver con ella. Estoy bastante confundida aquí. Mi primer pensamiento (antes de ver el título) fue el uso del teorema de Cayley de alguna manera. Tal vez eso es parte de la manera de prueba? Puede que alguien me muestre el camino para uno de los de arriba? Una vez que yo entiendo, yo debería ser capaz de hacer los demás por mí mismo.

Gracias de antemano.

Answer 1

La imagen de un inyectiva homomorphism $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to S_k$ es un subgrupo cíclico de $S_k$ orden $n$. Por el contrario, si $H$ es un subgrupo cíclico de $S_k$ orden $n$, hay un inyectiva homomorphism $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to S_k$.

Así que la pregunta es: ¿existe un elemento en $S_7$ orden $10$? Y uno de orden $8$? ¿Cómo se puede calcular el orden de una permutación en términos de las longitudes de sus ciclos disjuntos?

Answer 2

Sugerencia:

Si hay un mapa, se tiene que enviar a $1$ $\Bbb Z/10\Bbb Z $ a un elemento de orden $10$$S_7$. Y $2$ $5$ por lo tanto tienen que ir a los elementos de orden $2$ $5$ respectivamente, y los elementos deben de viajar.

Puede usted pensar en un elemento $u$ orden $5$? Si usted está pensando en $S_7$ como permutaciones de $7$ artículos, no $u$ dejar nada fijo? Puede usted pensar en un elemento $v$ orden $2$ que sólo actúa sobre los?