Encontrar todos los valor de enteros de n para el que la expresión es un cuadrado perfecto.

Question

Encontrar todos los enteros $n$ para el cual la expresión de $$n^4+6n^3+11n^2+3n+31$$ es un cuadrado perfecto.

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Mi planteamiento :

Primero he simplificado la expresión y la equipara a la plaza de la $$(n^2+3n+1)^2 - 3(n-10) = k^2$$ Now if we try to remove the term "$3(n-10)$" then the equation will be satisfied. And it is done only be equating $n = 10$ . No sé cómo encontrar otra solución. Por favor me ayude en la solución de más.

Answer 1

Estrategia: tratar de encontrar dos cuadrados perfectos tal que la expresión $f(n)=n^4+6n^3+11n^2+3n+31$ es estrictamente entre ellos para todos, pero un número finito de $n$.

$(n^2+3n+1)^2$ es importante para calcular, como también se señaló. Es $n^4+6n^3+11n^2+6n+1$.

Así, nuestra impresión es que el $f(n)$ se encuentra cerca de este, y que si $f(n)$ es un cuadrado perfecto, debe ser el cuadrado de $n^2+3n+1$.

Podemos demostrar esto para todos, pero un número finito de $n$. Más precisamente, podemos demostrar que para todos, pero un número finito de $n$,$(n^2+3n)^2< f(n)< (n^2+3n+2)^2$. Primera parte: $(n^2+3n)^2= n^4+6n^3+9n^2< n^4+6n^3+11n^2+3n+31 \Leftrightarrow 0< 2n^2+3n+31$. Esto es válido para todas las $n\in \mathbb{Z}$ (el discriminante es negativo). Segunda parte: $n^4+6n^3+11n^2+3n+31< (n^2+3n+2)^2 = n^4 + 6n^3 +13n^2 + 12n + 4 \Leftrightarrow$ $0< 2n^2+9n-27$.

Esta desigualdad se produce un error iff $-6\leq n\leq 2$. Desafortunadamente, usted tiene que comprobar si $f(n)$ es un cuadrado perfecto para estos nueve valores. (Fácil de cálculo.) Una vez que haya terminado con eso, si $n$ no está entre estos nueve valores, a continuación, $f(n)$ es estrictamente entre $(n^2+3n)^2$$(n^2+3n+2)^2$, así que tiene que ser $(n^2+3n+1)^2$. Esto conduce a una única ecuación que ya se han resuelto.