Me gusta Georges Elencwajg la respuesta, pero creo que es útil para ver algunos topológico de la intuición por lo que la normalización hace más de $\mathbb{C}$.
Nota decimos que una variedad es normal si su local anillos están integralmente cerrado en su campo de fracción.
Riemann Extensión Del Teorema De
Este establece 2) en Georges Elencwajg la respuesta. La mayoría de lo que sigue es de Kollár del artículo "La estructura algebraica de threefolds". También me gusta la discusión en torno a la p. 391 en Brieskorn y Knörrer del libro Plano de curvas algebraicas.
En análisis complejo, usted aprenderá acerca de la extensión de Riemann teorema, que dice que un delimitada la función de meromorphic en cualquier conjunto abierto $U \subset \mathbb{C}$ que es holomorphic en $U \setminus \{p\}$ es en el hecho de holomorphic en $U$. En el (complejo) de la geometría algebraica, queremos algo similar a la espera (digamos, para curvas): que una limitada función racional que es regular en $U \setminus \{p\}$ es en el hecho de regular en $U$.
Esta falla en general, sin embargo:
Ejemplo (cuspidal cúbicos). Deje $V = \{x^2 - y^3 = 0\} \subset \mathbb{C}^2$, y vamos a $f = (x/y)\rvert_V$. $f$ es una función racional en $V$, regular, lejos de la $0$. Usted puede, por supuesto, la demanda de $f(0,0) = 0$ hacer $f$ continua en $(0,0)$, pero esto no $f$ regular. Para, supongamos $x/y = a(x,y)/b(x,y)$ para algunos polinomios $a,b$ tal que $b(0,0) \ne 0$. A continuación, $xb(x,y) - ya(x,y) = 0$$V$, lo $x^2 - y^3$ divide. Pero hay un término constante diferente de cero en $b(x,y)$ que aporta un coeficiente distinto de cero para$x$$xb(x,y) - ya(x,y)$, por lo que no puede ser cero. Nota, sin embargo, que $(x/y)^2 = y$ es regular en $V$, lo que muestra $V$ no es normal.
La pregunta entonces es: ¿se puede modificar la curva de $V$, de modo que la definición de la integral de extensión del teorema de qué ? La respuesta es que sí, la normalización de hecho lo hace por nosotros: da otra variedad $\tilde{V}$ de manera tal que las funciones racionales en $V$ $\tilde{V}$ está de acuerdo, sino una extensión de la propiedad como la de arriba tiene. Esta extensión de la propiedad es el contenido de
Hartog del Teorema. Deje $V$ ser normal variedad y deje $W \subset V$ ser una subvariedad tal que $\dim W \le \dim V - 2$. Deje $f$ ser un habitual de la función en $V - W$. A continuación, $f$ se extiende a regular la función en $V$.
Pero volviendo a nuestro ejemplo: el mapa de $\mathbb{C} \to V$ envío de $z \mapsto (z^3,z^2)$ es de hecho una normalización. La función de $x/y$ entonces tira a$z$$\mathbb{C}$, lo cual es obviamente regular!
Observación. Es posible definir la normalidad como diciendo cada función racional que está delimitada en un barrio de la $U$ de un punto de $p$ es en el hecho de regular en $U$, en analogía directa con la extensión de Riemann teorema. Pero la equivalencia de estas definiciones es duro: ver Kollár, Conferencias sobre la resolución de singularidades, §1.4, especialmente Rem. 1.28.
La Separación De Las Ramas
Lo que sigue es de Mumford es El libro rojo de las variedades y de los esquemas, III.9.
La normalidad puede ser entendida como una manera de separar las "ramas" de una variedad algebraica en un punto singular. Considere el siguiente
Ejemplo (nodal cúbicos). Deje $V = \{x^2(x+1) - y^2\} \subset \mathbb{C}^2$. No es normal en $(0,0)$ ya que es singular no. Considere la posibilidad de un pequeño analítica barrio
$U = \{(x,y) \mid \lvert x \rvert < \epsilon,\ \lvert y \rvert < \epsilon\}$.
Puntos en $U \cap V$ satisfacer $\lvert x - y \rvert \lvert x + y \rvert = \lvert x \rvert^3 < \epsilon \lvert x \rvert^2$ por lo tanto $\lvert x - y \rvert < \sqrt{\epsilon} \lvert x \rvert$ o $\lvert x + y \rvert < \sqrt{\epsilon} \lvert x \rvert$, pero ambos no pueden ocurrir simultáneamente para lo suficientemente pequeño $\epsilon$. Por lo tanto, cerca del origen $V$ se divide en dos "ramas" que contiene los puntos de satisfacer $\lvert x - y \rvert \ll \lvert x \rvert$$\lvert x + y \rvert \ll \lvert x \rvert$. Cada pieza está conectado, pero no hay algebraica de manera independiente cada rama.
La normalización $\pi\colon \tilde{V} \to V$ termina la fijación de este, de la siguiente manera: para cada punto de $p \in V$, la inversa de la imagen $\pi^{-1}(p)$ está en correspondencia 1-1 con el conjunto de las ramas en el $p$. En nuestro ejemplo particular, es dado por $\mathbb{C} \to V$ donde $z \mapsto (z^2-1,z(z^2-1))$; las dos ramas corresponden a $z=\pm1$.
Así que quizás una variedad $V$ es normal si y sólo si en cada punto de $p \in V$, no es sólo una rama. La dirección de avance es esencialmente el contenido de Zariski principal del teorema; vea las páginas 288-289 en Mumford. Pero el recíproco es falso: el cuspidal cúbico sólo tiene una rama, pero no es normal.
