El límite de $\lim\limits_{n\to\infty} (\sqrt{n^2-n}-n)$. Algebraicas e intuitiva pensamientos.

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema.

Encontrar el límite de $$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2-n}-n)$$

Intuitivamente, quiero decir que es $0$ porque como $n \to \infty$, $\sqrt{n^2-n}$ se comporta como $n$ y restando $n$ hace $0$.

Sin embargo, algebraicamente, para mi sorpresa

$$\begin{align} \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2-n}-n) & = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2-n}+n}\\ & = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{n}}+1}\\ & = \frac{1}{2} \\ \end{align}$$

Es allí cualquier manera intuitiva para explicar por qué el 0 no es la respuesta ?

Answer 1

Usted tiene una señal de error:$-\frac12$.

Completar el cuadrado: $n^2-n=\left(n-\frac12\right)^2-\frac14$, por lo que para un gran $n$ su raíz cuadrada está muy cerca de a $n-\frac12$, y restando $n$ le trae muy cerca de $-\frac12$.

Answer 2

Usted está equivocado, porque la expresión es claramente negativo para $n \gt 0$

Una manera de ver el resultado es que se nota que $n^2-n=\left(n-\frac 12\right)^2-\frac 14$. Como $n$ aumenta, el $\frac 14$ llega a ser insignificante.

Usted debe obtener la $-\frac 12$

Answer 3

Si usted sabe que $\sqrt{1+x}\sim1+\frac x2$$x\sim0$, obtenemos que $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2-n}-n\right) &=\lim_{n\to\infty}n\left(\sqrt{1-\frac1n}-1\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}n\left(\left(1-\frac1{2n}\right)-1\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}n\left(-\frac1{2n}\right)\\ &=-\frac12 \end{align} $$ o completar la respuesta y corregir el signo: $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2-n}-n\right) &=\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2-n}-n\right)\frac{\sqrt{n^2-n}+n}{\sqrt{n^2-n}+n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{(n^2-n)-n^2}{\sqrt{n^2-n}+n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{-n}{\sqrt{n^2-n}+n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{-1}{\sqrt{1-1/n}+1}\\ &=-\frac12 \end{align} $$