Intuición sobre la tapa abierta de $\mathbb Q$ de medida pequeña arbitraria

Question

Tengo una pregunta que es un poco vaga. Uno puede construir (más o menos explícitamente) una cubierta abierta de digamos $\mathbb Q\cap[0,1]$ de medida de Lebesgue pequeña y arbitraria. Mi pregunta pide que se explique cómo se debe pensar en dicha cobertura. Lo mejor sería una especie de visualización (pero esto es sin duda pedir demasiado), pero mi imaginación está desconcertada por el hecho de que un conjunto grande arbitrario (en un sentido teórico de la medida) de [0,1] puede quedar sin cubrir mientras que los racionales están cubiertos y son densos... ¿Alguien tiene una explicación de esto?

Answer 1

Creo que aquí hay dos cosas a las que nuestra intuición debe acostumbrarse:

• Hay muchos más irracionales que racionales en $[0..1]$ .
• Estas bolas se utilizan para cubrir los racionales en $[0..1]$ en una construcción de este tipo están consiguiendo realmente pequeños, y sin embargo están por todas partes.

Cada vez que intento visualizar la construcción, mi cerebro queda atrapado en la siguiente falacia: Si hay bolas que cubren todos los racionales en $[0..1]$ Pero dejando fuera tantos irracionales, ¿no habría mucho espacio vacío entre ellos? ¿No podría encontrar algún racional en estos espacios vacíos?

Además, imagino automáticamente que las bolas son disjuntas y están bien ordenadas (por sus centros).

Esta es mi intuición sobre esa imagen : La cuestión es que las bolas no son disjuntas ni están bien ordenadas. Es posible que es mucho espacio entre dos bolas cualesquiera, pero también hay muchas otras bolas entre dos bolas cualesquiera. No hay una "próxima" bola. Y casi todas las bolas entre dos bolas cualesquiera son realmente, realmente diminuto en comparación. De hecho, tan pequeñas que sólo cubren una pequeña parte del espacio entre ellas. Son lo suficientemente grandes como para llamarse bola. Y a medida que se amplía la imagen, aparecen más y más bolas, pero cada vez más pequeñas.

En algún nivel, elige un conjunto arbitrario de irracionales. No es difícil imaginar que todas las bolas subsiguientes que aparezcan al acercarse eviten ese conjunto dado de irracionales siendo muy pequeñas. Esto es lo que ocurre.

Answer 2

Dicen que en matemáticas no se entienden las cosas, sólo se acostumbran.

Olvídate de la portada por un momento; ¿cómo visualizarías $\mathbb Q$ ¿en sí mismo? Es tan delgada que sólo tiene un número contable de puntos y, sin embargo, no puedes ir a ninguna parte en una línea sin encontrarlos a tu alrededor.

Answer 3

No creo que una persona en su sano juicio visualice fácilmente tal construcción. La construcción será un conjunto denso con sólo puntos aislados recortados (ya que $\mathbb Q$ es denso).

La construcción consiste simplemente en enumerar los números racionales y rodearlos de un conjunto abierto tal que $m(V_n) = \epsilon k^{-n}$ . Desde $\bigcup V_n$ cubrirá todos los números racionales y $m\bigcup V_n \le \sum \epsilon k^{-n} = \epsilon / (1-k)$ puede cubrir así el $\mathbb Q$ con un conjunto abierto arbitrariamente pequeño.