$5 \mid n^2 - m^2$ es una relación de equivalencia

Question

¿Cómo puedo indicar que esta es una relación de equivalencia:

$$ n \operatorname{R} m \Longleftrightarrow n^2 m^2 \textrm{ es divisible por } 5 $$

Sé que las relaciones de equivalencia son simétricas, reflexiva y transitiva. No estoy seguro de cómo utilizar este conocimiento para demostrarlo.

Answer 1

Debemos demostrar que para todos los enteros $x, y, z$, la relación $$R = \{(m, n): m^2 - n^2 \;\;\text{is divisible by 5}\}$$ es reflexiva, simétrica y transitiva.

Usaremos la notación $\;5 \mid m^2 - n^2$ para denotar "$m^2 - n^2$ es divisible por $5$."

Deje $x, y, z \in\mathbb{Z}$

Reflexiva:
Tenemos que mostrar que para cualquier $x \in \mathbb Z$, $x\,R\, x$. Ahora $x^2-x^2=0$. Desde $0$ es divisible por cada número entero, también es divisible por 5, por lo que la relación es reflexiva.

Simétrica
Tenemos que mostrar que para cualquier $x, y \in \mathbb Z$, si $x\,R\,y$ entonces $y\,R\,x$. Así, supongamos $x\,R\,y$. Esto significaría que $\,5 \mid x^2 - y^2$. A continuación,$\,5 \mid -(x^2-y^2)=y^2-x^2$. Por lo $\,5\mid y^2 - x^2\,$, por lo tanto $y\,R\,x$ y la relación $R$ por lo tanto es simétrica.

Transitiva
Tenemos que mostrar que si $x\,R\,y\,$ $\,y\,R\,z\,$ , a continuación, $x\,R\,z.\,$ Así: supongamos $x\,R\,y$$y\,R\,z$. De ello se desprende que $\,5\mid (x^2 - y^2)$$\,5\mid y^2 - z^2$. Pero, a continuación,$$5 \mid \left[(x^2 - y^2) + (y^2 - z^2)\right] = x^2 - y^2 + y^2 - z^2 = x^2 - z^2.$$ So $5 \ a mediados de x^2 - z^2$, which means $x\,I\,s$, y la relación es, por lo tanto transitiva.

Desde nuestra elección de $x, y, z \in \mathbb Z$ fue arbitrario, se tiene que $R$ es una relación de equivalencia en el conjunto de los números enteros, ya que es reflexiva, simétrica y transitiva.

Answer 2

Recordemos que la relación binaria $ \operatorname{R} $ $\mathbb{N}^2$ es una relación de equivalencia si es simétrica, reflexiva y transitiva.

Arreglar cualquier $n,m\in\mathbb{N}$.

Reflexivo ($n \operatorname{R} n$): $n^2-n^2=0$ y $5|0$

Simétrica (si $n \operatorname{R} m$$m \operatorname{R} n$): si $5|n^2-m^2=0$ $5|-(n^2-m^2)=m^2-n^2$

Transitiva (si $(n \operatorname{R} m)$$(m \operatorname{R} \ell)$$n \operatorname{R} \ell$): si $5|n^2-m^2=0$ $5|m^2-\ell^2=0$ $5|(n^2-m^2+m^2-\ell^2)=n^2-\ell^2$

Answer 3

Supongo que su relación es más que el conjunto de los números enteros.

Considerar arbitraria de elementos $x, y, z$$\mathbb{Z}$. Muestran que los tres de equivalencia de la relación de las propiedades de esos elementos.

También se podría argumentar que R es equivalente a (sin juego de palabras) decir $n^2 \equiv m^2 \mod 5$ y desde modular la congruencia es una relación de equivalencia, R es una relación de equivalencia.

Answer 4

Dado que el $xRy$ sostiene precisamente al $x^2-y^2$ es divisible por 5, es exactamente lo mismo que decir que $x^2-y^2$ es un múltiplo de 5, es decir, $xRy \,\equiv\, (\exists a \in \mathbb{Z} :: x^2-y^2 = 5a)$.

Como usuario Zen dijo, se podía observar la conexión entre el $R$ y mod-equivalencia; sin embargo, el propósito de que el problema puede ser la familiaridad con probar/ver las relaciones de equivalencia.

Hasta donde yo sé, la transitividad es generalmente de los más difíciles de demostrar y, como tal, voy a tratar de ser de uso allí. Debemos mostrar: $xRy, yRz \implies xRz$.

${\bf Proof \; Of \; Transitivity::}$ Si $xRy$$yRz$, entonces existen enteros $a,b$ $x^2-y^2=5a$ y $y^2-z^2=5b$. Luego tenemos a $(x^2-y^2)+(y^2-z^2)=5a+5b$, es decir que se $x^2-z^2=5(a+b)$. Así que hemos encontrado un número entero $c := a+b$ $x^2-z^2=5c$ pero esto significa $xRz$ ---como se desee.

$\langle\langle$ Aviso de que la prueba no hizo uso de las propiedades de la número 5. Un ingenioso ejercicio sería mostrar la relación $x \ R_k \ y \;:\equiv\; (\exists a \in \mathbb{Z} :: x^2-y^2 = ka)$ es una relación de equivalencia, para todas las $k \in \mathbb{Z}$.

Reto: Nos abstrae de distancia desde el número 5, podemos abstracto alejado de la operación de la resta? ¿Qué acerca de la cuadratura y la multiplicación?$\rangle\rangle$

Saludos cordiales,

Moisés