Riesel y Gohl la Aproximación de la Modificación de la Primer Función de Conteo, $\pi_{0}$

Question

En su artículo "los Cálculos Relacionados con la Riemann, el Primer Número de la Fórmula", Riesel y Gohl reclamar una simplificación de Riemann, la evaluación de la modificación de la primer función de conteo \begin{align} \pi_{0}(x) & = \tfrac{1}{2} \lim_{\epsilon \to 0} \pi(x + \epsilon) + \pi(x - \epsilon) \\ & = \lim_{N \to \infty} R_{N}(x) - F_{N}(x) \end{align} donde $F_{N}(x)$ es una infinita suma, que sólo depende de la compleja ceros de la función zeta en la crítica y la tira de cuentas para las discontinuidades de $\pi_{0}$ a los números primos, mientras que \begin{align} R_{N}(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{\mu(n)}{n} \mathsf{li}(\sqrt[n]{x}) + \frac{1}{2 \log x} \sum_{m = 1}^{N} \mu(n) + \frac{1}{\pi} \arctan \frac{\pi}{\log x} + \epsilon_{N}(x) \end{align} es una función suave de $x$, e $\epsilon_{N} \to 0$$N \to \infty$. El primer término es Riemann, conocido aproximación a $\pi_{0}$, y el resto de los términos depende sólo de la trivial ceros de la función zeta (en los negativos números enteros). Uno a menudo encuentra la aproximación, \begin{align} \pi_{0}(x) \approx \sum_{n \geq 1} \frac{\mu(n)}{n} \mathsf{li}(\sqrt[n]{x}) - \frac{1}{ \log x} + \frac{1}{\pi} \arctan \frac{\pi}{\log x} \end{align} normalmente se le atribuye a ellos. Lo de que el factor de $\frac{1}{2}$ y la suma que involucran la función de Möbius; no esta suma divergen?

Answer 1

Se utiliza la fórmula clásica $$\frac 1{\zeta(s)}=\sum_{n\ge1} \frac{\mu(n)}{n^s}$$ and applied it with different values of $s$ a obtener :

1. $\sum_{n\ge1} \mu(n)=-2\ $ ($s=0$ y el uso de $\zeta(0)=-\frac 12$) (advertencia : conjeturó sólo!)
2. $\sum_{n\ge1} \frac{\mu(n)}{n}=0\ $ ($s=1$ y desde $\frac 1{\zeta(1)}=0$)

3. $\sum_{n\ge1} \frac{\mu(n)\log(n)}{n}=-1\ $ (a $s=1$$\left(\frac 1{\zeta(s)}\right)'_{s=1}=1$$\left(\frac 1{n^s}\right)'_{s=1}=-\frac{\log(n)}n$)

   La transformación utilizado fue el primero en su caso (con $+$ frente a la inicial $\frac 1{\log(x)} \sum \mu(n)$ creo).

   Pero esto no parece satisfactorio para una prueba desde Hardy escribió acerca de (2) que fue tan "profundo" como el teorema de los números primos (en "Ramanujan" en la página 24, creo que (2) se demostró por Landau, para una revisión reciente ver a Terence Tao ", Una observación sobre las sumas parciales que involucran la función de Möbius").

   Respecto a su primera suma este artículo de la wikipedia sobre el Mertens función debe ser útil.
   Si definimos la función de Mertens como $M(n)= \sum_{k=1}^n \mu(k)$ $M(n)=\operatorname{O}\left(n^{\frac 12+\epsilon}\right)$ por cada $\epsilon >0$ es equivalente a la Hipótesis de Riemann (Anderson 'En la función de Möbius').