Tenga en cuenta que $\mathcal{A}\cap K$ es un cerrado ideal en $\mathcal{A}$, y tenemos una bien definida $\ast$-homomorphism
$$
\varphi : \mathcal{A}/(\mathcal{A}\cap K) \B(H)/K \text{ dada por } a + (\mathcal{A}\cap K) \mapsto a+K
$$
El rango de $\varphi$ es, precisamente,$(\mathcal{A} + K)/K$, y el rango de una $\ast$-homomorphism es completa.
Desde $K$ es completa, se desprende que el $\mathcal{A} + K$ también está completo; y, por tanto, cerrada.
Edit: Añadido es una prueba de la siguiente hecho:
Si $A$ es una normativa espacio lineal y $B\subset A$ un subespacio cerrado tal que $B$ $A/B$ son ambos completos, a continuación, $A$ es completa
Supongamos $(x_n) \subset A$ es de Cauchy, ya $\|(x_n + B) - (x_m+B)\| \leq \|x_n - x_m\|$, se deduce que el $(x_n+B)$ es de Cauchy en $A/B$. Por hipótesis, $\exists y\in A$ tal que
$$
x_n + B\a y+B
$$
Por la definición del cociente de la norma, para cada una de las $n\in \mathbb{N}, \exists z_n \in B$ tal que
$$
\|x_n - y - z_n\| < \|(x_n+B) - (y+B)\| + 2^{-n}
$$
Así que si $y_n := x_n - y - z_n$, luego
$$
y_n \0 \text{ en } Una
$$
Por lo tanto, $z_n = x_n - y - y_n$ es de Cauchy en $B$ (siendo la diferencia de dos secuencias de Cauchy). Desde $B$ es completa, $\exists z\in B$ tal que
$$
z_n \z
$$
y por lo tanto
$$
x_n = (x_n - y-y_n) + (y+y_n) \z+y
$$
