Al probar el Teorema 2.41 en los Principios de Análisis Matemático:
Deje $E \subset \mathbb{R}^k$. Si cada subconjunto infinito de $E$ tiene un punto límite en $E$, $E$ es cerrado y acotado.
Rudin dice,
"Si $E$ no está limitado, a continuación, $E$ contiene puntos de a $x_n$ con
$$\vert x_n \vert > n \hspace{2cm} (n = 1,2,3,...).$$
El conjunto $S$ consiste en estos puntos de $x_n$ es infinito y claramente no tiene límite de punto en $\mathbb{R}^k$, por lo tanto no tiene ninguno en $E$."
Mi primera reacción fue la de que sí es evidente como $S$ está compuesto de puntos discretos para que yo pudiera encontrar una bola alrededor de cualquier punto dado que no contiene un punto de $S$. Por lo tanto, si $p \in \mathbb{R}^k$ es el punto que estoy construyendo un balón, de tomar el radio de la bola como $r = \min_{x_n \neq p \in S} \{ \vert x_n - p \vert \}$ debe trabajar y como $p$ fue arbitraria $S$ no tiene un punto límite. Sin embargo, no estoy seguro de si puedo tomar el mínimo de un conjunto infinito? Sinceramente, no sé por qué yo no debería ser capaz de hacerlo, pero sin embargo, me decidí a probar otra prueba:
Supongamos que $S$ tiene un punto límite $p \in \mathbb{R}^k$. A continuación, para cualquier $r > 0$ $B_r(p)$ tiene una infinidad de puntos de $S$. Así, en particular, $B_{\frac{1}{2}}(p)$ contiene una infinidad de puntos de $S$. Por lo tanto, existe un punto de $y_m \in B_{\frac{1}{2}}(p)$ $\vert y_m \vert > m > \vert p \vert + 1$ (ya que de lo contrario, no sería sólo un número finito de puntos de $S$$B_{\frac{1}{2}}(p)$). Por lo tanto, tenemos
$$\vert y_m - p \vert \geq \big\vert \vert y_m \vert - \vert p \vert \big\vert > 1 $$
Sin embargo, este es un ello ya que también contamos $\vert y_m - p \vert < \frac{1}{2}$. Por lo tanto, como $p$ fue arbitraria, $S$ no tiene ningún punto límite en $\mathbb{R}^k$.
Mis preguntas: Puedo tomar el min a través de un conjunto infinito como en mi primer argumento? Es mi segundo argumento está bien?
Agradezco cualquier respuesta. Gracias.
