La Integración De Alimentación De La Serie

Question

En este problema de ejemplo en mi libro de texto:

"Encontrar una potencia de la serie representación de ln(1-x) y su radio de convergencia."

Se integran ambos lados:

-ln(1-x) = integral (1/1-x)dx, que viene a ser la SUMA de x^n/n + C.

Se resuelve para C, C=0. Aquí es donde me quedo atascado. Se procede a mostrar lo que la serie se ve como cuando C=0, y mostrar:

ln(1-x) = -x - x^2/2 - x^3/x - ... = SUMA x^n/n |x| < 1

¿Cómo es que todos estos son términos negativos?

Ellos dicen: "fíjate lo que ocurre si ponemos x = 1/2 en el resultado del Ejemplo 6. Desde ln(1/2) = -ln2, vemos que: "

ln2 = 1/2 + 1/8 + 1/24 + 1/64 + ... = SUMA 1/(n2^n)

¿Por qué fue x = 1/2 volver a poner en -ln(1-x)? ¿Por qué no ln(1-x)? Ahora, ¿por qué son todos positivos?

Answer 1

$\ln(1-x) \lt 0$ $0 \lt x \lt 1$ . Así que esperamos que en términos negativos.

Si usted tiene una serie de $f(x) = \sum a_n x^n$ válido para $|x| \lt 1$, entonces tenemos que $-f(x) = g(x) = \sum (-a_n) x^n$ es válido también para $|x| \lt 1$.

¿Eso ayuda?