Cuando se $m^2k^2(c^2+1)^2-4mc(c^2-c+1)$ un cuadrado perfecto?

Question

Supongamos, $m,k,c$ son enteros positivos

Conjetura : La expresión $$m^2k^2(c^2+1)^2-4mc(c^2-c+1)$$ is a perfect square if and only if $m=k=1$

En el caso de $m=k=1$ , obtenemos $(c-1)^4$ que es un cuadrado perfecto ($0$$1$ están permitidos)

La parte difícil es demostrar que de lo contrario, la expresión no puede ser un cuadrado perfecto. Traté de comparar $(mk(c^2+1)\pm 1)^2$ con el dado por la expresión, pero esto condujo a ninguna parte. La conjetura es verdadera para $m,k,c\le 1\ 600$

Llegué a este problema tratando de demostrar que para enteros positivos $a,b,c$ $c^2+1\mid a+b$ $ab\mid c(c^2-c+1)$ hemos $a=c$ , $b=c^2-c+1$ o viceversa.

Answer 1

Si escribimos $d=\gcd(m,4c(c^2-c+1))$, entonces no necesariamente existen enteros positivos $a_1$ $a_2$ tal que $m=da_1^2$ y $$ mc^2 c^2+1)^2-4c(c^2-c+1) = d a_2^2. $$ Escrito $t=a_1k$, por lo tanto tenemos $$ t^2 c^2+1)^2 -a_2^2 = \frac{4c(c^2-c+1)}{d} $$ y así, $a_3=tda_2$ y multiplicando por $t^2d^2$, $$ \left( t^2 d (c^2+1) \right)^2 - a_3^2 = 4 t^2dc(c^2-c+1). $$ Si definimos $a_4=t^2dc^2-2c+t^2d$, luego $$ \left( t^2 d (c^2+1) \right)^2 - a_4^2 = 4 t^2dc(c^2+1)-4c^2. $$ Si $t=d=1$, nos lleva a la $a_3=a_4$, por lo que para el caso de $m=k=1$. De lo contrario, $t^2d>1$ y, por tanto, necesariamente tiene que $a_3 > a_4$. La comprobación de que $a_3$ $a_4$ tienen la misma paridad, se deduce que el $a_3 \geq a_4+2$. Pero $$ \left( t^2 d (c^2+1) \right)^2 - (a_4+2)^2 = 4 t^2dc(c^2-c+1) - (4t^2d + 4(c-1)^2) < 4 t^2dc(c^2-c+1). $$ Esto completa la prueba. Este argumento es esencialmente el método de Runge en el disfraz.