Ejemplos físicos donde se cambia el orden de los límites de los rendimientos mal resultado

Question

En matemáticas es generalmente no se les permite cambiar el orden de los límites. Por ejemplo, no siempre es cierto para una secuencia de funciones de $f_n$,$\int_a^b \left(\sum_{n=0}^\infty f_n(x) \right) dx = \sum_{n=0}^\infty \left(\int_a^b f_n(x) dx\right)$. (Tenga en cuenta que la serie de $\sum_{n=0}^\infty\ldots$ y la integral de la $\int_a^b \ldots dx$ son definidas matemáticamente a través de los límites de las secuencias).

En mi experiencia, ocurre mucho en la física de conferencias, que los límites son cambiados en su pedido sin ningún comentario adicional (tales como mencionar el teorema de Fubini o convergencia uniforme). También me parece que no hay muchos ejemplos relevantes para la física donde cambiar el orden de los límites de rendimiento resultados equivocados.

Estoy buscando buenos ejemplos físicos mostrando a los estudiantes que uno tiene que tener cuidado cuando se cambia el orden de los límites. Así, por ejemplo físico que el orden de los límites es importante y se obtiene un mal resultado, cuando la cambia?

Answer 1

La baja frecuencia ($\omega\rightarrow 0$), de larga longitud de onda ($q\rightarrow 0$) conductividad de un gas de electrones en el azar de la fase de aproximación depende del orden en que estos dos límites.

Intuitivamente, si se toma el $\omega\rightarrow 0$ límite en primer lugar, estamos hablando de un estático, de larga longitud de onda de potencial a la que los electrones ajustar, por lo que la conductividad es imaginario (no dissapative). Si se toma el $q\rightarrow 0$ límite en primer lugar, estamos hablando de un uniforme, varía suavemente campo aplicado al gas, por lo que obtener una corriente (real de la conductividad). Consulte la página 27 de estas notas para un debate.

Básicamente, el fin de los límites de una forma de aprender acerca de Thomas-Fermi de la detección, y la otra manera de aprender acerca de corriente continua. El cambio de los límites aquí no es "malo" per se, pero se puede conseguir una respuesta a una pregunta que no pregunte!

Answer 2

Por ejemplo, en la mecánica estadística, se obtienen diferentes resultados para los sistemas con ruptura espontánea de simetría, por ejemplo, para un ferromagnético, dependiendo de si se toma por primera vez el límite de $N\rightarrow\infty$ o $H\rightarrow 0$ a la hora de calcular la media de magnetización (http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Quasi-averages,_method_of ).