Logarítmica integral de la orden de $n$

Question

Deje $0<\alpha<\beta$$n \in \mathbb{N}$. No es difícil para alguien para demostrar que

$$\int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{\left ( x+\alpha \right )\left ( x+\beta \right )} \, {\rm d}x = \frac{1}{2 \left ( \beta - \alpha \right )} \left [ \log^2 \beta - \log^2 \alpha \right ] \tag{1}$$

y

$$\int_{0}^{\infty} \frac{\log^2 x}{\left ( x+\alpha \right )\left ( x+\beta \right )} \, {\rm d}x = \frac{\pi^2 \left ( \log \beta - \log \alpha \right ) + \left ( \log^3 \beta - \log^3 \alpha \right )}{3 \left ( \beta - \alpha \right )} \tag{2}$$

La raíz natural a seguir para descifrar este es el análisis complejo ( ojo de la cerradura de contorno ) y el resultado sigue sin mucha dificultad. Laplace métodos de trabajo. Ahora, ¿qué podemos decir acerca de esto:

$$\int_{0}^{\infty} \frac{\log^n x}{\left ( x+\alpha \right )\left ( x+\beta \right )} \, {\rm d}x$$

He sido incapaz de encontrar una forma cerrada dependiendo $n$ o incluso una relación recursiva.

Answer 1

Deje $${I_n} = \int_0^{ + \infty } {\frac{{{{\ln }^n}x}}{{(x + b)(x + a)}}dx}$$ Luego de integrar $$f(z) = \frac{{{{(\ln z)}^{n + 1}}}}{{(z + b)(z + a)}}$$ around the keyhold contour, with $\ln x$ a branch cut at positive $$x-eje, da$$ \int_0^{ + \infty } {\frac{{{{(\ln x)}^{n + 1}}}}{{(x + b)(x + a)}}dx} - \int_0^{ + \infty } {\frac{{{{(\ln x + 2\pi i)}^{n + 1}}}}{{(x + b)(x + a)}}dx} = 2\pi i\left[ {\frac{{{{(\ln a + \pi i)}^{n + 1}} - {{(\ln b + \pi i)}^{n + 1}}}}{{b - a}}} \right] $$Por lo tanto$$ \sum\limits_{k = 0}^n {\binom{n+1}{k}{{(2\pi i)}^{n + 1 - k}}{I_k}} = 2\pi i\left[ {\frac{{{{(\ln b + \pi i)}^{n + 1}} - {{(\ln a + \pi i)}^{n + 1}}}}{{b - a}}} \right]$$ que es un deseada de la recurrencia de la relación.