La mensurabilidad de la supremum de un movimiento Browniano

Question

Después de la lectura de algunos libros de texto sobre el Movimiento Browniano, a menudo me encontré con el siguiente objeto $$ \sup_{t \[0, T]} B_t, $$ donde $(B_t)_{t \geq 0}$ es un Movimiento Browniano.
Pero, ¿cómo puedo ver que este objeto es medible? El problema es que el supremum se toma a través de una multitud innumerable. ¿Me olvido de algo trivial o ¿por qué no hay libro de texto mencionando por qué este objeto está bien definido como una variable aleatoria?

Answer 1

Normalmente, un movimiento Browniano se define que la muestra continua de caminos. Si usted toma algunos contables, denso subconjunto $S\subset [0,T]$, entonces se tiene

$$\sup_{t\in S} B_t = \sup_{t\in [0,T]} B_t$$

por la continuidad de $B_t$.

Answer 2

Usted necesidad de utilizar el hecho de que $B_t$ depende continuamente en $t$. Que muestra que el sup es el mismo que el sup restringido a rational $t$.