Probar eso es constante.

Question

Deje que$f:\mathbb R \to \mathbb R $ sea una función continua de tal manera que para todos$x \in \mathbb R$,$f(x)=f(x^2) $ pruebe que$f$ es constante.

"por favor, dame consejos para no responder. Muchas gracias. :) :) :) :) :)"

Answer 1

En primer lugar,$f(x)=f(x^2)=f((-x)^2)=f(-x)$, por lo que solo debemos considerar$x\ge0$.
Por el contrario,$f(x)=f(\sqrt{x})$. Si es$f(x)\ne f(y)$, tome raíces cuadradas repetidas de$x$ y$y$. Mire la continuidad de$f(x)$ cerca de$x=1$.

Answer 2

Dejar $|x| < 1$. Luego$x^{2^n} \to 0$ para$f(x^{2^n}) \to f(0).$ Pero todos los$f(x^{2^n})$ son todos iguales, así que$f(x) = f(0)$. Ahora sabes que$f$ es constante en$(-1,1)$. ¿Puedes ir el resto del camino?