¿Qué significa pivotar (álgebra lineal)?

Question

Así que me dicen que si la matriz es simétrica positiva definitiva (como lo es la de abajo), el pivoteo no es necesario cuando se utiliza la eliminación gaussiana.

$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}$

Así que he estado buscando en Google tratando de obtener una definición de lo que es el pivote y no puedo encontrar una respuesta directa. He leído que significa hacer un intercambio de filas. He leído que significa "hacer que un elemento por encima o por debajo del uno inicial se convierta en un cero".

Supongo que lo que siempre he hecho es: hacer $a_{1,1} = 1$ , hacer ceros abajo. Hacer $a_{2,2} = 1$ hacer ceros abajo, etc.

Answer 1

Pivotar en el sentido de la palabra significa girar o rotar. En el algoritmo de Gauß significa girar las filas para que tengan una composición numéricamente más favorable.

La implementación directa de la descomposición LU no tiene pivote. Sin embargo, puede encontrar ceros o casi ceros en la diagonal mientras las entradas de abajo en la misma columna tienen un tamaño apreciable.

Así que la idea natural es elegir la mayor de las entradas restantes, llamarla pivote (eje de giro) y utilizar esa fila como base para el paso de eliminación. Para seguir construyendo la forma escalonada, las filas se intercambian o giran (de forma más eficiente utilizando una matriz de índices de filas), añadiendo pasos de permutación a las transformaciones elementales de las filas.

El resultado del algoritmo de Gauß pivotado es una descomposición PLU, donde P es una matriz de permutación que tiene en cada fila y columna exactamente una entrada 1, todas las demás 0.

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En cuanto a la matriz original, la discretización de menos la segunda derivada es efectivamente positiva definida. Para demostrarlo se requiere un análisis de valores propios.

Para matrices definidas positivas $A$ La descomposición LU desnuda sin pivotar funciona, ya que las entradas diagonales que se encuentran son cocientes de menores diagonales principales, y todas ellas son positivas. La simetría da como resultado $U=D\,L^\top$ para que el $A=LDL^\top$ puede obtenerse de forma barata. Si se quiere, la raíz cuadrada de $D$ se puede distribuir a los factores para obtener la descomposición de Cholesky.

Answer 2

Piénsalo así.
Si tienes las siguientes ecuaciones $$2x+2y=6\\-x+y=-1$$ La solución es $$x=2\\y=1$$ Lo obtenemos por (dividir la primera ecuación por 2, sumar a la segunda, dividir el resultado por 2, ..)

Ahora las dos primeras ecuaciones podrían representarse como una matriz $$\pmatrix{2&2&6\\-1&1&-1}$$ y las dos segundas ecuaciones podrían representarse también como una matriz $$\pmatrix{1&0&2\\0&1&1}$$ Pivotar significa llevar la primera matriz a la segunda matriz utilizando operaciones de fila como se hace con las ecuaciones.
Para su matriz observe lo siguiente
$$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}\implies \begin{bmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix} \\ \implies \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix} \implies \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -2\\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}$$

Answer 3

Para una matriz invertible $A,$ La eliminación gaussiana equivale a construir un $LU$ factorización de $A$ donde $L$ es triangular inferior unitario y $U$ es triangular superior. Hay muchos algoritmos para hacer esto, pero si no se tiene cuidado se pueden producir errores de cancelación o encharcamiento. Mediante el pivoteo parcial se pueden evitar algunos errores de desbordamiento asegurándose de que en cada paso del algoritmo se reordenan las filas/columnas de forma que cualquier escalado que se haga de las filas/columnas siguientes sea por un número de valor absoluto menor que 1. Esta no es la misma idea que reducir una matriz a la forma escalonada, ya que eso ya está implícito en la realización del $LU$ factorización. El pivoteo parcial se refiere más bien a una técnica numérica en la aplicación de un $LU$ (o muchas otras) factorizaciones. Esto es innecesario y de hecho numéricamente dudoso para una matriz simétrica definida positiva ya que la factorización cholesky puede ser empleada en su lugar.

El pivoteo es una técnica más general que el pivoteo parcial, pero las preocupaciones subyacentes son las mismas. Te sugiero que repases tus apuntes o busques en Google los términos relevantes y que hables con tu instructor para que te aclare las cosas.